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🎨 直感で掴む

積分は関数 $f(x)$ の「曲線下の面積」「総量」「平均」を求める操作で、 微分の逆演算でもあります。 統計・確率・物理・経済のいずれも、 連続変数の「足し合わせ」は積分で表されます。

データサイエンス文脈で積分が登場する代表場面：

• 確率密度関数の確率：$\Pr(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$
• 期待値：$\mathbb{E}[X] = \int x\,f(x)\,dx$
• 累積分布関数：$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$
• ベイズの周辺尤度：$\int p(D|\theta)p(\theta)\,d\theta$
• ROC 曲線下面積（AUC）

多くの場合、 解析解は得られないため、 数値積分や モンテカルロ積分でアプローチします。

📐 数式・定義

標準正規分布の累積分布関数：

🔬 数式・概念を言葉で読み解く

🧮 実値で計算してみる（SSDSE-B-2026）

🐍 Python 実装

例 1：scipy.integrate.quad で 1 次元定積分

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

# 標準正規分布の Pr(-1 <= Z <= 1)
val, err = quad(lambda x: np.exp(-x**2/2)/np.sqrt(2*np.pi), -1, 1)
print(val, '±', err)   # 約 0.6827

例 2：SSDSE 47 県の人口分布を KDE → 積分

import pandas as pd, numpy as np
from scipy.stats import gaussian_kde
from scipy.integrate import quad

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='shift_jis')
df.columns = df.iloc[0]
df = df.iloc[1:].reset_index(drop=True)
df = df[df['年度']=='2023'].reset_index(drop=True)
pop = df['総人口'].astype(float).to_numpy()

kde = gaussian_kde(pop, bw_method=0.4)
# 規格化確認
total, _ = quad(lambda x: kde(x).item(), pop.min()*0.5, pop.max()*1.5)
print('規格化:', total)
# 100 万人未満の割合
p_small, _ = quad(lambda x: kde(x).item(), 0, 1_000_000)
print('Pr(<100万人):', p_small)
# 500 万人以上の割合
p_big, _ = quad(lambda x: kde(x).item(), 5_000_000, pop.max()*1.5)
print('Pr(>=500万人):', p_big)

例 3：台形則を手書きで（学習用）

import numpy as np
xs = np.linspace(-3, 3, 1000)
fs = np.exp(-xs**2/2) / np.sqrt(2*np.pi)
h = xs[1] - xs[0]
trap = h * (fs[0]/2 + fs[1:-1].sum() + fs[-1]/2)
print('Pr(-3<=Z<=3) ≒', trap)   # 約 0.9973

例 4：モンテカルロ積分（高次元向き）

import numpy as np
# 円内ランダム点で π を推定（実乱数は外部実データに置換可だが、 ここでは原理確認）
N = 1_000_000
pts = np.random.default_rng(0).uniform(-1, 1, size=(N, 2))
inside = (pts**2).sum(axis=1) <= 1
pi_est = 4 * inside.mean()
print('π ≒', pi_est)

例 5：scipy.integrate.dblquad で 2 重積分

from scipy.integrate import dblquad
import numpy as np

# 二次元正規分布の Pr(0<=X<=1, 0<=Y<=1)
def f(y, x):
    return np.exp(-(x**2+y**2)/2) / (2*np.pi)
val, _ = dblquad(f, 0, 1, lambda x: 0, lambda x: 1)
print(val)

📂 ケーススタディ・追加実装例

ケース 1：正規分布の累積分布関数 $\Phi(z)$

from scipy.special import erf
import numpy as np
def Phi(z):
    return 0.5 * (1 + erf(z / np.sqrt(2)))
print(Phi(1.96))   # 約 0.975

ケース 2：ROC-AUC は積分

ROC 曲線下面積：

実装は sklearn.metrics.roc_auc_score が台形則で計算。

ケース 3：ベイズの周辺尤度

解析的に解けないので、 ラプラス近似・変分推論・MCMC で近似する。

ケース 4：ガウス求積（高精度）

from scipy.integrate import fixed_quad
import numpy as np
val, _ = fixed_quad(lambda x: np.exp(-x**2/2)/np.sqrt(2*np.pi), -3, 3, n=20)
print('Pr(-3<=Z<=3):', val)

ケース 5：SSDSE 47 県の人口分布の歪度を密度で確認

import pandas as pd, numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.stats import gaussian_kde
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='shift_jis')
df.columns = df.iloc[0]
df = df.iloc[1:].reset_index(drop=True)
df = df[df['年度']=='2023'].reset_index(drop=True)

x = df['総人口'].astype(float).to_numpy()
kde = gaussian_kde(x)

mean_int, _ = quad(lambda t: t * kde(t).item(), 0, x.max()*1.5)
var_int,  _ = quad(lambda t: (t - mean_int)**2 * kde(t).item(), 0, x.max()*1.5)
print('密度から計算した平均:', mean_int)
print('密度から計算した分散:', var_int)

ケース 6：シンプソン則による高精度

import numpy as np
xs = np.linspace(-3, 3, 1001)   # 奇数点で偶数区間
fs = np.exp(-xs**2/2)/np.sqrt(2*np.pi)
h = xs[1]-xs[0]
simpson = h/3 * (fs[0] + fs[-1] + 4*fs[1:-1:2].sum() + 2*fs[2:-2:2].sum())
print('Simpson:', simpson)

🪜 ステップバイステップ チュートリアル

チュートリアル：47 県人口の確率密度を積分で扱う

ステップ 1：データ準備

import pandas as pd, numpy as np
from scipy.stats import gaussian_kde
from scipy.integrate import quad

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='shift_jis')
df.columns = df.iloc[0]
df = df.iloc[1:].reset_index(drop=True)
df = df[df['年度']=='2023'].reset_index(drop=True)
pop = df['総人口'].astype(float).to_numpy()
x = np.log(pop)   # 対数化して扱いやすく

ステップ 2：密度推定

kde = gaussian_kde(x, bw_method=0.3)
xs = np.linspace(x.min()-1, x.max()+1, 1000)
density = kde(xs)
print('peak at log pop =', xs[density.argmax()])
print('対応する人口 =', np.exp(xs[density.argmax()]))

ステップ 3：規格化確認

total, _ = quad(lambda t: kde(t).item(), x.min()-2, x.max()+2)
print('密度の総和（積分）:', total)   # ≈ 1.0 になるはず

ステップ 4：分位点を積分で求める

from scipy.optimize import brentq
def F(t):
    val, _ = quad(lambda u: kde(u).item(), -np.inf, t)
    return val

median_log = brentq(lambda t: F(t)-0.5, x.min(), x.max())
print('中央値（対数）:', median_log)
print('中央値（人口）:', np.exp(median_log))

ステップ 5：期待値と分散を積分から計算

mean_int, _ = quad(lambda t: t*kde(t).item(), x.min()-2, x.max()+2)
var_int, _  = quad(lambda t: (t-mean_int)**2 * kde(t).item(), x.min()-2, x.max()+2)
print('E[log pop]:', mean_int)
print('Var[log pop]:', var_int)
print('参考: 標本平均:', x.mean(), ' 標本分散:', x.var())

ステップ 6：シンプソン則と比較

def simpson(f, a, b, n=1000):
    if n % 2: n += 1
    h = (b-a)/n
    xs = np.linspace(a, b, n+1)
    ys = np.array([f(x) for x in xs])
    return h/3 * (ys[0] + ys[-1] + 4*ys[1:-1:2].sum() + 2*ys[2:-2:2].sum())

print('Simpson:', simpson(lambda t: kde(t).item(), x.min()-2, x.max()+2))

🚀 現場での応用シナリオ（8 例）

応用 1：確率の計算

$\Pr(a\le X\le b) = \int_a^b f(x)dx$。 株価が一定値を下回る確率、 試験得点が合格点を上回る確率。

応用 2：期待値の計算

$E[X] = \int x f(x) dx$。 「期待損失」「期待利益」を理論モデルから計算。

応用 3：ベイズ推論

事後分布の正規化定数 $\int p(D|\theta)p(\theta)d\theta$ は積分。 MCMC・変分推論で近似。

応用 4：金融工学

Black-Scholes 式は実は積分（標準正規分布の CDF）。 オプション価格を解析的に出す。

応用 5：物理学

運動エネルギー、 位置エネルギー、 電位、 磁束 — すべて積分。

応用 6：機械学習の評価指標

ROC-AUC、 PR-AUC は積分。 不均衡データの評価で重要。

応用 7：分布の歪み・尖度

$\mu_k = \int (x-\mu)^k f(x) dx$ で高次モーメントを計算。 確率分布の形を定量化。

応用 8：シグナル処理

フーリエ変換 $\hat f(\xi) = \int f(t) e^{-2\pi i \xi t} dt$ は積分の代表例。 周波数解析。

🏋️ 演習問題（8 題）

1. 標準正規分布の Pr(-1.96 ≤ Z ≤ 1.96) を quad で計算し、 解析解 0.95 と比較せよ。
2. 47 県の総人口に対する KDE を作り、 「Pr(人口 ≥ 200 万)」 を数値積分せよ。
3. 台形則とシンプソン則を同じ関数に適用し、 精度を比較せよ。
4. モンテカルロ積分で π を 1 万・10 万・100 万サンプルで推定し、 収束速度を確認せよ。
5. ROC-AUC を台形則で手書き計算し、 sklearn の値と一致を確認せよ。
6. 2 重積分 ∬ exp(-x²-y²) を dblquad で計算し、 解析解 π と比較せよ。
7. scipy.integrate.solve_ivp で常微分方程式を解け（例：ロジスティック方程式）。
8. ベイズ事後分布の正規化定数を、 ラプラス近似と数値積分で比較せよ。

🗺 学習ロードマップ

1. レベル 1 — 定積分の幾何的意味（面積）、 不定積分（原始関数）、 基本公式。
2. レベル 2 — 部分積分、 置換積分、 部分分数分解、 解析積分の技法。
3. レベル 3 — 数値積分（台形、 シンプソン）、 scipy.integrate.quad の使い方。
4. レベル 4 — 確率密度の積分、 累積分布関数、 期待値、 ROC-AUC。
5. レベル 5 — モンテカルロ積分、 重要サンプリング、 MCMC。
6. レベル 6 — 経路積分、 ルベーグ積分、 確率積分、 微分可能プログラミング（neural ODE）。

📊 比較表（兄弟手法・選択肢）

数値積分手法の比較

📖 用語ミニ辞典

🍳 コードレシピ（コピペ用 15 連発）

from scipy.integrate import quad
val, err = quad(f, a, b)

from scipy.integrate import dblquad
val, _ = dblquad(f, 0, 1, lambda x: 0, lambda x: 1)

from scipy.integrate import tplquad

from scipy.integrate import nquad
nquad(f, [[0,1],[0,1],[0,1]])

from scipy.integrate import fixed_quad
fixed_quad(f, a, b, n=10)

from scipy.integrate import trapezoid
trapezoid(y, x)

from scipy.integrate import simpson
simpson(y, x=x)

from scipy.integrate import romberg
romberg(f, a, b)

from scipy.integrate import solve_ivp
res = solve_ivp(rhs, [0,10], y0)

from scipy.integrate import cumulative_trapezoid
F = cumulative_trapezoid(y, x, initial=0)

from scipy.stats import norm
norm.cdf(1.96)

from scipy.stats import gaussian_kde; kde = gaussian_kde(x); quad(lambda t: kde(t).item(), -np.inf, x_thr)

from sklearn.metrics import roc_auc_score; roc_auc_score(y_true, y_score)

pts = rng.uniform(0,1,size=(N,2)); val = ((pts**2).sum(axis=1)<1).mean()*4

weights = p(x)/q(x); estimate = (f(x)*weights).mean()

⚠️ よくある落とし穴

❓ よくある質問（FAQ）

📜 歴史と背景

歴史と位置づけ：積分の概念は古代ギリシャ（エウドクソス、 アルキメデス）の「取り尽くし法」にまで遡ります。 アルキメデスは円周率や球の体積を、 多角形・多面体の極限として求めていました。

• 17 世紀 — Newton と Leibniz が独立に 微分積分学の基本定理（$\int_a^b f = F(b)-F(a)$）を発見
• 1854 — Riemann が現在の「リーマン積分」を厳密化
• 1902 — Lebesgue が測度論に基づく ルベーグ積分を導入、 不連続関数や確率論を扱えるように
• 20 世紀 — モンテカルロ積分（1949、 Metropolis-Ulam）、 高次元積分の確率的アプローチ
• 現代 — 自動微分による積分（differentiable programming）、 ニューラル ODE、 ベイズ深層学習

機械学習で積分が現れる場面は多く、 特にベイズ推論では事後分布 $p(\theta|D)=\frac{p(D|\theta)p(\theta)}{\int p(D|\theta)p(\theta)d\theta}$ の分母（証拠）が解析的に計算できないため、 MCMC・変分推論・ラプラス近似などの手法が発達しました。

🌐 関連手法・派生・対概念

🔗 関連用語（前提・並列・発展）

📘 前提となる用語

🤝 並列・関連する用語

🚀 発展・応用

📚 関連グループ教材

このページの内容を、より広い文脈で学びたいときは：

• 📚 数学基礎 — 微積分・線形代数の土台
• 📚 確率分布 — 密度・分布の総覧
• 📚 統計推定 — 推定の中で積分が登場する場面

🗺 概念マップ

積分の用途マップ：

            【積分】
              │
   ┌──────────┼──────────┬──────────┐
   解析解     数値解      確率的解   応用
   │           │           │          │
  公式      台形/Simpson  モンテカルロ  確率(CDF)
  部分積分  ガウス求積   重要サンプリング  期待値
  置換積分  Romberg      MCMC          周辺尤度
                                       AUC

📚 参考文献・出典

• Press, W. H. et al. (2007). Numerical Recipes, 3rd ed. Cambridge UP.
• Davis, P. J., Rabinowitz, P. (2007). Methods of Numerical Integration. Dover.
• Robert, C. P., Casella, G. (2004). Monte Carlo Statistical Methods. Springer.