🎨 直感で掴む — 「閾値の前後」で何が起きるか

3 つの例で本質を掴む

「閾値の前後だけ見る」のがミソ

RDD では閾値から遠い対象は使いません。 例えば「人口 5 万人で市」 の場合、 1000 人の村と 100 万人の大都市を比べても市制の効果は分かりません（規模が違いすぎる）。 RDD は閾値の前後 ±数千人 のような狭い帯域を取り出して、 そこの不連続なジャンプを測ります。 帯域の中では「人口でほぼ同じ → 処置のみが違う → 実験に近い比較ができる」というロジック。

視覚的な仕組み

       結果変数 Y（例：1人当たり地方交付税）
         │
         │                      ★
         │              ★    ★      ★
         │       ★ ★              ★    ★
         │    ★                          ★
         │ ★                  ↕ τ (因果効果)
         │ ────────────────────●──────────
         │             ○      │
         │       ○ ○          │
         │    ○                │
         │ ○                   │
         │___________________ c (閾値) _________→ X（人口）
         │       「町」         「市」
    

○（処置を受けない側）の連続的な傾向と、 ★（処置を受ける側）の連続的な傾向に、 閾値 $c$ でジャンプがある。 このジャンプの大きさ τ が、 因果効果の推定値です。

なぜ「不連続」なら因果と言えるのか

もし処置以外のすべての要因が $X$（強制変数、 running variable）に対して連続的に変化する（=ジャンプしない）なら、 $X = c$ でだけ起きるジャンプは処置効果以外ありえない。 これが RDD の identification の核心。 「連続性仮定」を満たすことが鍵です。

📐 数式 — Sharp RDD の識別と推定

処置の決まり方（Sharp RDD）

RDD で識別される因果効果

識別仮定（連続性）

推定方法（局所線形回帰）

実務上は閾値近傍 $|X_i - c| \le h$（帯域幅 $h$）のサンプルを使い、 線形回帰：

帯域幅 $h$ の選び方

帯域幅 $h$ を狭くするほど「閾値での効果」に近づく（バイアス小）が、 サンプルが減って分散大。 逆に広くすると分散小だがバイアス大。 トレードオフを最適化する自動選択法として：

• Imbens-Kalyanaraman (IK) 法：分散とバイアスの MSE 最小化
• CCT 法（Calonico, Cattaneo, Titiunik 2014）：頑健信頼区間も計算
• クロスバリデーション：交差検証で最適 $h$ を選ぶ

Python の rdrobust パッケージは CCT 法をデフォルトで使う。

🔬 記号を言葉に翻訳する

🧮 SSDSE 仮想シナリオ：人口 5 万人を境にした「市制」効果

SSDSE-B-2026 を使って、 「人口 5 万人を超えた自治体は『市』になり、 国からの補助金額に差が出る」 という仮想シナリオで RDD を試してみます。 ※実際の地方自治法の市制施行要件は複雑ですが、 ここでは教育用に簡略化します。

シナリオの設定

• 強制変数 $X$：自治体の人口
• 閾値 $c$：50,000 人
• 処置 $D$：人口 ≥ 50,000 なら市（$D = 1$）、 未満なら町・村（$D = 0$）
• 結果変数 $Y$：1 人当たり地方交付税（円）
• 仮説：市制施行で財政自由度が増し、 1 人当たり交付税が変化するか？

STEP 1：閾値前後のサンプルを抽出

SSDSE-B から、 人口 25,000〜100,000 人の自治体だけ取り出します（閾値 $c = 50000$ の±50,000 人）。 仮に該当する 12 自治体の値が以下だったとします（教育用の数値例）：

STEP 2：閾値直近の比較で因果効果を見る

閾値直近のペア F 町（49,800 人, Y = 9.8）と G 市（50,300 人, Y = 12.5）：

$\tau \approx 12.5 - 9.8 = \mathbf{+2.7}$ 万円

「人口 500 人差」では他の要因はほぼ同じはず → この差は市制施行の効果と解釈できる。 ただし 2 点だけの比較は不安定なので、 局所線形回帰で全体を使う。

STEP 3：局所線形回帰モデルを書き下す

モデル：$Y_i = \alpha + \tau D_i + \beta_1 (X_i - c) + \beta_2 D_i (X_i - c) + \varepsilon_i$

これは 4 つのパラメータ：

• $\alpha$：閾値直下（$X = c$ 直前、 $D = 0$）の $Y$ の予測値
• $\tau$：閾値直上の「ジャンプ」（因果効果）
• $\beta_1$：閾値未満での $X$ に対する $Y$ の傾き
• $\beta_1 + \beta_2$：閾値以上での $X$ に対する $Y$ の傾き

STEP 4：推定値の解釈（仮の結果）

上のデータで OLS で回帰を回すと、 おおよそ：

$\hat{Y} = 10.0 + \underbrace{2.5}_{\tau}\cdot D + (-7.5 \times 10^{-5})\cdot(X - c) + ...$

結論：閾値での因果効果 $\hat{\tau} \approx +2.5$ 万円。 つまり、 「市制施行で 1 人当たり地方交付税が約 2.5 万円増える」と推定される。 この値は閾値近傍（人口 5 万人前後）の自治体に対する局所的効果であり、 人口 100 万都市の市制効果は分からない、 という制約があります。

STEP 5：可視化のコツ

RDD の最重要図表は「散布図 + 閾値の左右で別々のフィット線」。 これで「不連続性が本当にあるか」を視覚的に確認します。 ジャンプが目視で明らかなら結果は頑健、 微小なら推定が不安定。

🐍 Python での RDD 実装

1. SSDSE-B からデータを準備

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm

# SSDSE-B を読み込み（直書きパス）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='utf-8', skiprows=1)

# 2023 年データに絞る
df_2023 = df[df['年度'] == 2023].copy()

# 強制変数 X：人口、 結果変数 Y：1人当たり地方交付税
df_2023['pop'] = df_2023['A1101']             # 総人口（仮コード）
df_2023['tax_per_capita'] = df_2023['D1101'] / df_2023['A1101']

# 閾値の設定（仮想例）：人口 50万人を境に「政令市」相当とみなす
cutoff = 500000
df_2023['D'] = (df_2023['pop'] >= cutoff).astype(int)
df_2023['X_centered'] = df_2023['pop'] - cutoff

print(f"n = {len(df_2023)}, 処置群 = {df_2023['D'].sum()}")

2. 帯域幅を選んで局所線形回帰

# 帯域幅 h を設定（閾値の±300,000 人を採用、 教育用に固定）
h = 300000
sample = df_2023[(df_2023['pop'] >= cutoff - h) &
                (df_2023['pop'] <= cutoff + h)].copy()

# 相互作用項を作る
sample['D_X'] = sample['D'] * sample['X_centered']

# 局所線形回帰モデル：Y = α + τD + β1(X-c) + β2 D(X-c) + ε
X_mat = sm.add_constant(sample[['D', 'X_centered', 'D_X']])
y = sample['tax_per_capita']

model = sm.OLS(y, X_mat).fit(cov_type='HC1')  # 不均一分散頑健な標準誤差
print(model.summary())

# 因果効果（τ）の推定値と信頼区間
tau = model.params['D']
ci = model.conf_int().loc['D']
print(f"τ = {tau:.3f} 95% CI: [{ci[0]:.3f}, {ci[1]:.3f}]")

3. RDD プロット — 閾値の左右で別々のフィット線

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# 散布図（閾値の左右で色分け）
left = sample[sample['D'] == 0]
right = sample[sample['D'] == 1]
ax.scatter(left['pop'], left['tax_per_capita'], color='steelblue', label='町・村 (D=0)', s=60)
ax.scatter(right['pop'], right['tax_per_capita'], color='crimson', label='市 (D=1)', s=60)

# 閾値の左右で別々の線形フィット
for sub, color in [(left, 'steelblue'), (right, 'crimson')]:
    m, b = np.polyfit(sub['pop'], sub['tax_per_capita'], 1)
    xs = np.linspace(sub['pop'].min(), sub['pop'].max(), 100)
    ax.plot(xs, m * xs + b, color=color, linewidth=2)

# 閾値を縦線で示す
ax.axvline(cutoff, color='black', linestyle='--', label=f'閾値 = {cutoff:,} 人')
ax.set_xlabel('人口 (人)')
ax.set_ylabel('1人当たり地方交付税 (円)')
ax.set_title('RDD: 市制施行の財政効果（仮想シナリオ）')
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

4. McCrary 密度検定（操作の有無を確認）

受験者が「あと 1 点で合格」を意図して試験を解いたり、 役所が「あと数百人で市」と画策したりすると、 閾値直下／直上でサンプル数の人為的偏りが生じます。 これを検出するのが McCrary (2008) の密度検定：

# 閾値前後の人口ヒストグラムを描いて、 不自然な密度ジャンプがないか確認
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.hist(sample['pop'], bins=30, edgecolor='black')
ax.axvline(cutoff, color='red', linestyle='--', label='閾値')
ax.set_title('McCrary 密度検定：閾値前後で X の密度に不自然なジャンプがないか')
plt.show()

# 専用パッケージ rddensity（要インストール）の例
# from rddensity import rddensity
# result = rddensity(sample['pop'], c=cutoff)
# print(result)

5. プラセボ検定（他の変数で「ジャンプ」が出ないか）

# 処置と関係なさそうな変数（例：高齢化率、 共変量）で同じRDDを回す
# ジャンプが検出されないことが「識別仮定が成り立つ」傍証

for var in ['aging_rate', 'avg_income', 'unemployment']:
    y_placebo = sample[var]
    model_p = sm.OLS(y_placebo, X_mat).fit(cov_type='HC1')
    tau_p = model_p.params['D']
    p_val = model_p.pvalues['D']
    print(f"{var}: τ = {tau_p:.3f} (p={p_val:.3f})")
    # p > 0.05 で「ジャンプなし」なら識別仮定が支持される

6. 専用パッケージ rdrobust の使用例

# pip install rdrobust が必要
from rdrobust import rdrobust, rdplot, rdbwselect

# 最適帯域幅の選択（CCT 法）
bw = rdbwselect(y=sample['tax_per_capita'], x=sample['pop'], c=cutoff)
print(bw)

# RDD 推定（バイアス補正付き頑健信頼区間）
result = rdrobust(
    y=sample['tax_per_capita'],
    x=sample['pop'],
    c=cutoff,
    p=1  # 局所線形（p=2 で局所2次）
)
print(result)

# 標準的なRDDプロット
rdplot(y=sample['tax_per_capita'], x=sample['pop'], c=cutoff)

⚙️ Sharp RDD vs Fuzzy RDD — 2 種類の RDD

Fuzzy RDD の数式（Wald estimator）

Fuzzy RDD は操作変数法と同型で、 「閾値を超えたかどうか」を処置の操作変数として使います。 これにより部分コンプライアンス（処置を受けたい人だけが受ける）状況でも因果効果が識別できます。

⚠️ RDD の落とし穴

🌐 RDD の派生・関連手法

1. 差分の差分法 (Difference-in-Differences, DiD)

「処置群と対照群」が「処置前と処置後」で観測される状況で使う準実験デザイン。 RDD と並ぶ因果推論の二大柱。 RDD が「閾値前後」を比べるのに対し、 DiD は「時間変化の差」を比べる。 状況に応じて使い分け。

2. 操作変数法 (Instrumental Variables, IV)

Fuzzy RDD は IV の特殊ケース。 「閾値を超えたかどうか」を処置の操作変数として使う。 一般の IV はもっと広く、 「処置を予測するが、 結果には直接影響しない外生変数」を使う。

3. 傾向スコアマッチング (Propensity Score Matching)

処置確率（傾向スコア）が近い処置群／対照群を組み合わせる手法。 RDD と違い「閾値」がなくても使えるが、 観察されない交絡がない仮定（無作為割り付け仮定）が必要で、 RDD より仮定が強い。

4. シナプス変化点検出 (Change-point detection)

RDD は「閾値が既知」の状況。 一方、 時系列で「いつ構造変化が起きたか」を探すのが change-point detection。 「政策施行のタイミング」が未知のときに使う関連手法。

5. Bunching estimator（バンチング推定）

所得税の限界税率が変わる閾値で、 申告所得が「ちょうどそこに集まる（bunching）」現象を使って税率の弾力性を推定する手法。 RDD と同じく「閾値」を活用するが、 結果変数ではなく強制変数の分布の形を利用。 Saez (2010), Chetty et al. (2011)。

6. Regression Kink Design (RKD)

RDD の親戚で、 「閾値で水準ではなく傾きが変わる」状況を使う。 例：失業給付額が失業前所得の関数で、 閾値で給付率が変わる場合、 給付の効果を識別できる。 Card et al. (2015)。

7. Synthetic Control Method (合成対照法)

1 つの処置単位（例：1 つの州、 1 つの国）に対し、 他の未処置単位を加重平均で「合成対照」を作って比較する。 「カリフォルニア州の禁煙法の効果」など、 特定の処置対象がある場合に使う。 Abadie & Gardeazabal (2003)。

🔗 関連用語（前提・並列・発展）

📥 前提となる用語

• 線形回帰 — RDD の基本ツール（局所線形回帰）
• 確率変数 — 強制変数・結果変数の数学的基礎
• 仮説検定 — τ の有意性検定
• 信頼区間 — τ の不確実性表現

🔄 並列に学ぶ用語（因果推論シリーズ）

• パネル因果推論 — DiD、 二元固定効果
• 差分の差分 (DiD) — 時間変化を使った因果推論
• 操作変数法 (IV) — Fuzzy RDD の一般化
• 傾向スコアマッチング — 観察データの因果推論
• ランダム化実験 — 因果推論のゴールドスタンダード

🚀 発展先

• Fuzzy RDD — 部分コンプライアンスへの拡張
• Regression Kink Design — 傾きで識別する手法
• Bunching estimator — 強制変数の分布を使う
• 合成対照法 — 単一処置単位の評価
• 局所線形回帰 — RDD の核心推定手法

📚 関連グループ教材

• 論文一覧 — 因果推論を使った再現論文集
• 因果推論の基礎 — Rubin Causal Model から識別戦略まで
• 計量経済学入門 — RDD・DiD・IV の基本
• 政策評価 — 行政データ・公共データを使った因果分析

🗺 RDD の概念マップ

RDD と因果推論手法群の関係を整理します。

                  【因果推論の Goal】
                  「X → Y の効果は何か？」
                          │
        ┌─────────────────┴─────────────────┐
        ▼                                     ▼
   【実験的手法】                      【観察データ手法】
   ・RCT                                  │
                              ┌──────────┼──────────┐
                              ▼                     ▼
                       【識別戦略あり】       【識別戦略なし】
                              │                     │
              ┌───────┬───────┼───────┬──────────────┘
              ▼       ▼       ▼       ▼
        【RDD】 【DiD】 【IV】 【マッチング】
          │       │       │       │
          │       │       │       └─ 傾向スコア
          │       │       │
          │       │       └─ 2SLS、 Fuzzy RDD
          │       │
          │       └─ パネルデータ、 二元固定効果
          │
          └─ Sharp RDD / Fuzzy RDD / RKD / Bunching
    

RDD のワークフロー

1. 制度を理解する：閾値で何が変わるか、 制度的に決まっているか
2. 強制変数 $X$ と閾値 $c$ を特定する
3. McCrary 密度検定：閾値直近で $X$ の密度に不自然なジャンプがないか
4. 共変量プラセボ検定：閾値で他の共変量がジャンプしないか
5. 帯域幅 $h$ を選択（CCT 法等）
6. 局所線形回帰で τ を推定
7. 頑健性検定：$h$ を変えて、 多項式次数を変えて、 共変量を入れて、 結果が安定か確認
8. 視覚化：RDD プロットで「ジャンプ」が明らかか確認
9. 外的妥当性の議論：閾値近傍以外への外挿の制約を明示

📚 さらに学ぶには

このサイト内

• 論文一覧に戻る — RDD を含む因果推論論文を読む
• 関連用語ページ — 上記「🔗 関連用語」から派生

推奨書籍

• 『「原因と結果」の経済学』（中室牧子・津川友介）— 因果推論の入門書、 RDD も平易に解説
• 『計量経済学』（西山慶彦ら、 有斐閣）— RDD・DiD の標準的教科書
• 『Mostly Harmless Econometrics』（Angrist & Pischke）— 計量経済の名著、 RDD の章あり
• 『Causal Inference: The Mixtape』（Cunningham）— 因果推論の現代的入門
• 『Mastering 'Metrics』（Angrist & Pischke）— RDD を含む 5 つの計量手法

主要論文

• Thistlethwaite & Campbell (1960) — RDD の原典
• Hahn, Todd & Van der Klaauw (2001, Econometrica) — 識別の理論
• Imbens & Lemieux (2008, JoE) — 標準的サーベイ
• Calonico, Cattaneo & Titiunik (2014, Econometrica) — 頑健な信頼区間
• Cattaneo, Idrobo & Titiunik (2020) — RDD 実践ハンドブック

Python パッケージ

• rdrobust（rdpackages.github.io）— CCT 推定、 帯域幅選択、 RDD プロット
• rddensity — McCrary 密度検定
• statsmodels — OLS と HC1 標準誤差
• linearmodels — Fuzzy RDD で 2SLS

📊 著名な RDD 実証研究の例

RDD は政策評価論文で最も信頼される識別戦略の 1 つです。 代表的な研究を題材別に整理します。

1. 教育研究 — Angrist & Lavy (1999)

イスラエルの「マイモニデス・ルール」：学級規模が 40 人を超えると 2 クラスに分割される制度を利用。 39 人クラスと 41 人クラス（→ 1 クラス 21 人）を比べて、 学級規模縮小の学力効果を識別。 結論：小さい学級は学力テスト点数を改善（5 年生で約 0.25 SD）。 RDD の応用として有名な古典的研究。

2. 選挙研究 — Lee (2008)

米国下院議員選挙で、 「現職効果」を Sharp RDD で識別。 「得票率 50% 直上で当選 → 次回も当選しやすいか」を比較。 50.01% で当選した候補は次回の当選確率が大きくジャンプ。 因果効果は約 +9 ポイント。 「現職効果」が現実に存在することを RDD で明示した代表例。

3. 公衆衛生 — Carpenter & Dobkin (2009)

米国で「21 歳の飲酒解禁」を Sharp RDD として利用。 21 歳の誕生日前後で死亡率がどうジャンプするか調査。 結論：21 歳誕生日直後の数日間で交通事故・アルコール関連死亡率が顕著にジャンプ。 法的飲酒年齢の効果を明示。

4. 労働経済学 — DiNardo & Lee (2004)

米国の労組結成投票で、 「過半数（50%）超で労組結成」というルールを Fuzzy RDD として利用。 結成 vs 不結成の前後で企業の業績・雇用者の賃金変化を比較。 結論：労組結成は企業の生存率や生産性に強い負の効果は見出せなかった、 という意外な発見。

5. 開発経済学 — Manacorda, Miguel & Vigorito (2011)

ウルグアイの貧困世帯向け移転給付プログラム「PANES」。 所得テストスコアの閾値で給付が決まる制度を利用。 子どもの学校在籍率への影響を識別。 RDD で開発援助の効果を測定した代表例。

日本での RDD 応用

• 市町村合併：「人口閾値で交付税が変わる」制度を使った地方財政効果の研究
• 大学入試：「合格点ボーダー」を使った大学進学効果の推定
• 地方議会：「議席配分の閾値」での政治変化分析
• 高校進学：「入試ボーダー」での高校教育効果分析

主要 RDD 研究のまとめ表

RDD ベストプラクティスのチェックリスト