🔖 キーワード索引

🎨 直感で掴む — 「時間が経っても同じ顔つき」

定常な系列 vs 非定常な系列

「定常」とは、 系列を時間軸でずらしても 「統計的に同じデータ」に見える こと。 具体例で：

視覚的判定法

1. 系列プロット：横軸時間、 縦軸値。 「上昇／下降トレンド」「水準シフト」があれば非定常を疑う
2. 分割平均・分割分散：系列を前半・後半に分けて平均・分散を計算。 大きく違えば非定常
3. 自己相関関数（ACF）：定常系列なら ACF はゆっくり 0 に減衰。 非定常では長く高い値が続く

時間軸ずらしの直感

定常系列を「時刻 100 を中心とした 50 個」と「時刻 200 を中心とした 50 個」に分けたとき、 ヒストグラムを描くとほぼ同じ形。 非定常系列ではこれが全く違う形になります。

📐 数式 — 定常性の定義

強定常（厳密定常、 Strictly Stationary）

弱定常（共分散定常、 Weakly / Covariance Stationary）

強定常 ⊃ 弱定常 …とは限らない

普通は強定常 ⇒ 弱定常 だが、 厳密には：

• 強定常 + 2 次モーメント有限 ⇒ 弱定常
• 分散が無限の強定常系列（重い裾の分布等）は弱定常ではない
• 逆は成立しない（弱定常でも結合分布が違うことはある）

単位根と非定常

AR(1) モデル $y_t = \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$ について：

• $|\phi| < 1$：定常（過去の影響が減衰する）
• $\phi = 1$：単位根（unit root）を持つ → ランダムウォーク、 非定常
• $|\phi| > 1$：発散（非現実的）

トレンドと差分

非定常系列 $y_t$ から定常系列を抽出する典型手法：

拡張 Dickey-Fuller 検定（ADF）

「単位根が存在する（非定常）」を帰無仮説とする検定：

$p < 0.05$ なら「単位根なし」＝「定常」と結論。

🔬 数式を「言葉」で読み解く

🧮 実データで計算してみる — SSDSE-A 年次データ

SSDSE-A-2025 は年次データを含み、 都道府県別に GDP・人口などの時系列が取れます。 ここでは「日本全国の人口（仮想例として 1955〜2024 の年次データ）」を題材にします。

ステップ 1：原系列のプロット観察

日本の人口は 1955〜2008 年まで増加、 2010 年頃をピークに減少傾向。 これは明らかに非定常（時間とともに平均が変わる）。

ステップ 2：基本統計の分割比較

明らかに平均が時間とともに変わっており、 非定常と判断できる。

ステップ 3：差分系列で定常化

ステップ 4：ADF 検定の擬似結果

都道府県横断データでの「定常性類似概念」

SSDSE-B は都道府県データ（クロスセクション）なので、 時間軸はありません。 しかし「定常性類似」の概念として：

• 空間定常性：地理的位置によらず統計的性質が一定（地域差なし）
• 群間均質性：群を変えても分布が同じ（例：都道府県別 GDP の分布は地方ブロックによらず同じか）

これらは時系列の定常性と数学的に同型の概念です。

🐍 Python 実装 — statsmodels の ADF 検定

1. 基本：ADF 検定の実行

🎯 このコードでやること: SSDSE-B-2026 で時系列 (人口の年次推移など) を読み込み、 ADF 単位根検定で定常性を判定

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 例：SSDSE-A の年次データを読込（仮）
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-A-2025.csv', skiprows=1)
# 日本全国の集計データ列を抽出（例：年次の総人口）
y = df.groupby('Year')['A1101'].sum().values

# ADF 検定
result = adfuller(y, autolag='AIC')
print(f"ADF Statistic: {result[0]:.4f}")
print(f"p-value      : {result[1]:.4f}")
print(f"Lags used    : {result[2]}")
print(f"Critical values:")
for key, val in result[4].items():
    print(f"  {key}: {val:.4f}")

# 判定
if result[1] < 0.05:
    print("→ 定常（H₀ を棄却）")
else:
    print("→ 非定常（H₀ を棄却できず）")

💬 読み方: ADF 検定は帰無『単位根あり (非定常)』。 p > 0.05 で棄却できない → 非定常と判定 → 差分が必要。 ARIMA や VAR の前に必ず実施する『前提チェック』。

2. 差分を取って再検定

🎯 このコードでやること: 1 階差分 (Δy = y_t - y_{t-1}) を取って再び ADF 検定し、 定常になったか確認

# 1 階差分
y_diff = np.diff(y)

result_diff = adfuller(y_diff, autolag='AIC')
print(f"After 1st difference:")
print(f"ADF Statistic: {result_diff[0]:.4f}")
print(f"p-value      : {result_diff[1]:.4f}")

💬 読み方: 1 階差分で定常化すれば I(1) (1 階和分過程)、 2 階差分なら I(2)。 ほとんどの経済時系列は I(1) で、 ARIMA(p,1,q) の d=1 として扱う。 差分しすぎは情報損失なので最小限に。

3. KPSS 検定（補完的検定）

ADF と逆の帰無仮説：「定常である」が H₀。 ADF と組み合わせて判定するのが標準。

🎯 このコードでやること: KPSS 検定で『帰無仮説＝定常』として ADF と二重チェック

from statsmodels.tsa.stattools import kpss

kpss_stat, kpss_p, lags, crit = kpss(y, regression='c')
print(f"KPSS Statistic: {kpss_stat:.4f}")
print(f"p-value       : {kpss_p:.4f}")
# 判定：p < 0.05 なら H₀ 棄却＝非定常

💬 読み方: ADF と KPSS は帰無仮説が逆。 両方の検定で『非定常』が一致すると確信が高い。 一方が定常で他方が非定常なら、 トレンド項や定数項の指定を見直す。 ロバスト性のため両検定併用が定石。

4. ACF と PACF の可視化

🎯 このコードでやること: ACF・PACF プロットを描いて自己相関の構造を可視化し AR/MA 次数を推定

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 8))

# 原系列
plot_acf(y, lags=20, ax=axes[0, 0], title='ACF (original)')
plot_pacf(y, lags=20, ax=axes[0, 1], title='PACF (original)')

# 差分系列
plot_acf(y_diff, lags=20, ax=axes[1, 0], title='ACF (diff)')
plot_pacf(y_diff, lags=20, ax=axes[1, 1], title='PACF (diff)')

plt.tight_layout(); plt.show()
# 非定常系列の ACF はゆっくり減衰、 定常化したら速やかに 0 に

💬 読み方: ACF (自己相関) で MA 次数、 PACF (偏自己相関) で AR 次数を判断するのが Box-Jenkins 法の基本。 ACF が急減し PACF が lag k でストンと落ちれば AR(k)。 逆なら MA。

5. ローリング平均・分散の可視化

🎯 このコードでやること: ADF・KPSS・Ljung-Box (残差ホワイトノイズ) の 3 検定をまとめて実行する自前関数

y_series = pd.Series(y)
roll_mean = y_series.rolling(window=10).mean()
roll_std = y_series.rolling(window=10).std()

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(y_series, label='Original')
plt.plot(roll_mean, label='Rolling mean', color='red')
plt.plot(roll_std, label='Rolling std', color='black')
plt.legend(); plt.title('Visual stationarity check')
plt.show()
# 定常なら rolling mean と rolling std は時間によらずほぼ水平

💬 読み方: Ljung-Box は『残差に自己相関が残っていないか』のチェック。 残差がホワイトノイズになっていれば、 モデルが時系列の構造を完全に取り尽くしている (定常モデルとして適切)。

6. 自動 ARIMA で差分次数を選ぶ

🎯 このコードでやること: pmdarima.auto_arima() で ARIMA 次数 (p, d, q) を自動探索

# pip install pmdarima
from pmdarima import auto_arima

model = auto_arima(y, seasonal=False, trace=True,
                   stepwise=True, suppress_warnings=True)
print(model.summary())
# 差分次数 d がデータから自動選択される

💬 読み方: auto_arima は AIC/BIC で次数を網羅探索。 差分次数 d は ADF/KPSS の結果から、 p, q は AIC で選ぶ。 手動 Box-Jenkins より速いが、 最終的に残差診断と PACF/ACF で確認する。

⚠️ 落とし穴

🌐 関連手法・派生

• ARIMA モデル：定常系列＋差分次数 $d$ のモデル。 定常性が成立すれば適用可。 → arima.html
• VAR モデル：多変量自己回帰。 各成分が定常であることが前提。
• 共和分（cointegration）：個々は非定常でも線形結合が定常になる関係。 Engle-Granger、 Johansen 検定。
• ARMA-GARCH：分散の非定常性（ボラティリティクラスタリング）をモデル化。 金融時系列で必須。
• 状態空間モデル：時間とともに係数が変わる柔軟なモデル。 非定常を直接扱える。
• 隠れマルコフモデル (HMM)：構造変化点を確率的に扱う。
• Phillips-Perron 検定：ADF の改良版。 系列相関に頑健。
• KPSS 検定：定常性が帰無仮説。 ADF と相補的。
• 季節分解（STL, X-13）：トレンド・季節・残差に分解する古典的手法。
• 分数階差分（fractional differencing）：整数次ではなく $d \in (0, 1)$ の差分。 長期記憶を扱う ARFIMA モデル。

🔗 関連用語（前提・並列・発展）

📘 前提として理解しておくべき用語

📗 並列に並ぶ・対比する用語

📕 発展として進む用語

🧬 定常性のバリエーション — 厳密な分類

1. 強定常（Strictly / Strongly Stationary）

結合分布が時間平行移動で不変。 最も強い条件。 例：i.i.d. 系列、 ガウス AR(1)（$|\phi| < 1$）。

2. 弱定常（Weakly / Covariance Stationary, Second-Order Stationary）

平均・分散・自己共分散が時間によらない。 実用ではこちらが標準。 ガウス過程では強定常 ⇔ 弱定常。

3. トレンド定常（Trend-Stationary）

$y_t = \alpha + \beta t + u_t$ で、 $u_t$ が定常。 「決定的トレンドを差し引けば定常」になる。 差分定常（DS、 差分で定常化）と区別が重要。

4. 周期定常（Cyclostationary）

統計的性質が「周期 $T$ で繰り返す」。 季節性データの厳密版。 例：時刻 $t$ と $t + T$ で分布が同じ。

5. 局所定常（Locally Stationary）

短い時間窓内では定常だが、 全体としては緩やかに変化する。 Dahlhaus（1997）の理論。 非定常系列の柔軟な扱い。

6. 漸近定常（Asymptotically Stationary）

初期条件の影響が時間とともに消え、 長期的には定常に収束。 AR(1) で $|\phi| < 1$ なら任意の初期値からスタートしても定常分布に収束。

定常性の包含関係

強定常 (i.i.d. を含む)
  ⊃ 強定常 (2 次モーメント有限)
    ≡ 弱定常 + 同分布性
    ⊃ 弱定常 (実用標準)
      ⊃ トレンド定常
      ⊃ 周期定常
      ⊃ 漸近定常

🔁 定常過程の具体例ギャラリー

1. ホワイトノイズ $\varepsilon_t \sim N(0, \sigma^2)$

• $E[\varepsilon_t] = 0$、 $\mathrm{Var}[\varepsilon_t] = \sigma^2$、 $\mathrm{Cov}[\varepsilon_t, \varepsilon_s] = 0$（$t \ne s$）
• 最も基本の定常系列。 ARMA モデルの誤差項として登場

2. AR(1)：$y_t = \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$（$|\phi| < 1$）

• $E[y_t] = 0$（中心化版）、 $\mathrm{Var}[y_t] = \sigma^2 / (1 - \phi^2)$、 $\mathrm{Cov}[y_t, y_{t+h}] = \phi^h \mathrm{Var}[y_t]$
• $|\phi| < 1$ で定常。 $\phi = 1$ なら単位根（非定常）
• 自己相関がラグとともに幾何級数的に減衰

3. MA(1)：$y_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$

• 常に定常（$\theta$ の値によらず）
• $\mathrm{Cov}[y_t, y_{t+1}] = \theta \sigma^2$、 $\mathrm{Cov}[y_t, y_{t+h}] = 0$（$h \ge 2$）
• 1 期しか過去を覚えていない

4. ARMA(p, q)：AR + MA の組合せ

• AR 部分の根がすべて単位円外なら定常
• 柔軟な定常系列のモデル化に多用

非定常な系列の例

• ランダムウォーク：$y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t$ — 単位根あり、 分散が時間とともに増加
• 線形トレンド付き：$y_t = \alpha + \beta t + \varepsilon_t$ — 平均が時間に依存
• ARIMA(p, 1, q)：1 階差分で定常になる系列。 「I(1)」と表記
• 季節周期付き：$y_t = \cos(2\pi t/12) + \varepsilon_t$ — 月次の周期

📊 単位根検定・定常性検定の使い分け

判定の組み合わせ

📊 共和分（Cointegration）入門 — 非定常でも関係を捉える

「定常化のために差分化したら、 系列間の長期関係が消えてしまう」場合の解決策が共和分です。

定義

$x_t$ と $y_t$ が両方とも I(1)（1 階差分で定常化する非定常系列）のとき、 ある定数 $\beta$ が存在して

意味

「個々の系列は非定常でも、 ある線形結合は定常」という状態。 経済学では「長期均衡関係」として重要：

• 所得と消費（短期的に乖離しても、 長期的に一定比率に戻る）
• 株価と配当（DDM の理論的基盤）
• 為替レートと購買力平価（PPP）
• 長期金利と短期金利（イールドカーブの傾き）

検定手法

Python での実演

🎯 このコードでやること: 共和分検定 (Engle-Granger) で 2 系列が長期均衡関係にあるか確認

from statsmodels.tsa.stattools import coint
import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-A-2025.csv', skiprows=1)

# 例：日本全国の年次 GDP と総人口
gdp = df.groupby('Year')['B4101'].sum().values
pop = df.groupby('Year')['A1101'].sum().values

score, p_value, crit_values = coint(gdp, pop)
print(f"Cointegration test: t = {score:.3f}, p = {p_value:.4f}")
if p_value < 0.05:
    print("→ GDP と人口は共和分関係（長期均衡あり）")
else:
    print("→ 共和分なし")

💬 読み方: 両系列とも非定常でも、 線形結合が定常 (共和分) なら長期均衡関係。 これを無視して回帰すると見せかけの回帰 (spurious regression)。 共和分が確認できれば ECM や VECM でモデル化できる。

共和分時の正しいモデル：誤差修正モデル（VECM）

共和分が成立する場合、 単純な差分回帰ではなくVECM（Vector Error Correction Model）を使う：

🎯 「見せかけの回帰」のシミュレーション

非定常系列での「見せかけの回帰」を、 実コードで体感します。

🎯 このコードでやること: ランダムウォーク (純粋な非定常) をシミュレーションし、 ADF が反応するかテスト

# 注：このシミュレーションはランダムウォークの説明用
# 本サイトは実データ主義だが、 確率過程の「概念実演」としての例
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# 「全く無関係な」2 つの非定常系列（ランダムウォーク）の OLS
# SSDSE-A の年次データから 2 つの異なる県の人口時系列を取って実演する手もある

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-A-2025.csv', skiprows=1)

# 北海道（Code 1）と沖縄（Code 47）の人口時系列を抽出
hokkaido = df[df['Code'] == 1].sort_values('Year')['A1101'].values
okinawa = df[df['Code'] == 47].sort_values('Year')['A1101'].values

# そのまま単回帰（非定常 vs 非定常）
X = sm.add_constant(hokkaido)
model_spurious = sm.OLS(okinawa, X).fit()
print("Spurious regression (raw series):")
print(f"R² = {model_spurious.rsquared:.4f}, p = {model_spurious.pvalues[1]:.4f}")

# 差分系列で回帰（定常 vs 定常）
d_hok = np.diff(hokkaido)
d_oki = np.diff(okinawa)
X_d = sm.add_constant(d_hok)
model_correct = sm.OLS(d_oki, X_d).fit()
print("Correct regression (differenced):")
print(f"R² = {model_correct.rsquared:.4f}, p = {model_correct.pvalues[1]:.4f}")

# 結果：原系列は R² が高くても疑似相関、 差分系列でこそ本当の関係が見える

💬 読み方: ランダムウォークは ADF 検定の代表的『非定常』ケース。 株価や為替の差分が定常 (リターンが定常) という現実の現象もこれで説明される。 単位根の有無は時系列分析で最重要のチェック。

結果の解釈

原系列では「北海道の人口が増えると沖縄の人口も増える（$R^2 = 0.9$ など）」という奇妙な関係が出る。 これは両方が独立に長期トレンドを持つ非定常系列だから。 差分を取ると、 本当の「年次変動の関係」が見えてきます。

📜 定常性概念の歴史

• 1930 年代：Wold & Kolmogorov — 確率過程と定常性の数学的基礎を確立
• 1970 年：Box & Jenkins — ARIMA モデルを体系化し、 差分による定常化を標準的手順に
• 1974 年：Granger & Newbold — 「見せかけの回帰」を実証、 定常化の重要性を警告
• 1979 年：Dickey & Fuller — 単位根検定（DF 検定）を提案
• 1981 年：Said & Dickey — Augmented Dickey-Fuller（ADF）検定を提案
• 1987 年：Engle & Granger — 共和分（cointegration）の概念。 個々は非定常でも線形結合が定常になる重要発見。 1991 年ノーベル経済学賞
• 1992 年：Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin — KPSS 検定（定常性が H₀）を提案
• 1990 年代以降 — 構造変化検定、 分数階差分、 状態空間モデル、 GARCH ファミリーが発展

🎯 SSDSE-A 年次データでの完全ワークフロー

SSDSE-A は年次データを含むので、 日本全体の集計時系列を作って定常性検定を実演します。

🎯 このコードでやること: Hodrick-Prescott フィルタや移動平均でトレンド成分を抽出し、 残差の定常性を確認

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-A-2025.csv', skiprows=1)

# 全国年次合計を作成（仮の列名 A1101 を仮定）
ts = df.groupby('Year')['A1101'].sum().sort_index()
print(f"Years: {ts.index.min()} - {ts.index.max()}, n = {len(ts)}")

# --- ステップ 1：可視化 ---
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 8))
axes[0, 0].plot(ts); axes[0, 0].set_title('Original')
axes[0, 1].plot(ts.diff().dropna()); axes[0, 1].set_title('1st Difference')
axes[1, 0].plot(np.log(ts)); axes[1, 0].set_title('Log transform')
axes[1, 1].plot(np.log(ts).diff().dropna()); axes[1, 1].set_title('Log + 1st diff (log return)')
plt.tight_layout(); plt.show()

# --- ステップ 2：4 つの系列で ADF と KPSS を全部実行 ---
series_list = {
    'original': ts.values,
    'diff': ts.diff().dropna().values,
    'log': np.log(ts).values,
    'log_diff': np.log(ts).diff().dropna().values,
}

for name, s in series_list.items():
    adf_p = adfuller(s)[1]
    kpss_p = kpss(s, regression='c')[1]
    print(f"{name:<10}: ADF p={adf_p:.4f}, KPSS p={kpss_p:.4f}")

# --- ステップ 3：定常化した系列で ARIMA をあてはめ ---
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

model = ARIMA(ts, order=(1, 1, 1)).fit()
print(model.summary())

# --- ステップ 4：予測 ---
forecast = model.forecast(steps=10)
print("10-step ahead forecast:")
print(forecast)

💬 読み方: 経済時系列は『トレンド + サイクル + ノイズ』に分解できる。 HP フィルタやバンドパスでトレンド除去後、 循環成分のみを定常時系列として扱うのも一般的なアプローチ。

📚 関連グループ教材

• ⏰ 時系列分析グループ — 定常性は時系列分析の出発点。 ARIMA・VAR・状態空間モデルの基盤
• 📊 計量経済学グループ — 見せかけの回帰、 共和分など、 経済学の重要概念と直結
• 🔬 仮説検定グループ — ADF・KPSS の理論的位置づけ
• 🔮 予測モデルグループ — 定常化はあらゆる予測モデルの前処理

🗺 概念マップ — 定常性の位置

時系列分析
├── データの性質
│   ├── 定常性 ◀ このページ
│   │   ├── 強定常（厳密定常）
│   │   ├── 弱定常（共分散定常）
│   │   ├── トレンド定常
│   │   └── 周期定常
│   ├── 非定常性
│   │   ├── トレンド付き
│   │   ├── 単位根
│   │   ├── 季節性
│   │   ├── 構造変化
│   │   └── ボラティリティ変動
│   └── 自己相関構造
├── 検定
│   ├── ADF 検定（H₀: 単位根）
│   ├── KPSS 検定（H₀: 定常）
│   ├── PP 検定
│   └── DF-GLS 検定
├── 定常化手法
│   ├── 1 階差分（$\Delta y$）
│   ├── 2 階差分
│   ├── 季節差分（$\Delta_s y$）
│   ├── 対数変換 + 差分（log return）
│   └── トレンド除去
└── モデル
    ├── ARMA（定常前提）
    ├── ARIMA（差分込み）
    ├── SARIMA（季節 + 差分）
    ├── VAR
    ├── VECM（共和分）
    └── GARCH（分散非定常）

❓ よくある質問

Q1. 強定常と弱定常、 どちらを気にすればいい？

実用ではほぼ常に弱定常（共分散定常）で十分。 ARIMA・VAR などの統計理論は弱定常を前提に組まれている。 強定常は理論的議論や非ガウス系列で重要。

Q2. ADF と KPSS、 どちらの結果を信じる？

両方を実行して合意を確認する。 食い違うときは、 サンプル数・構造変化・トレンド項の指定を見直す。 単独の判定より組み合わせが信頼できる。

Q3. 1 階差分で定常化しない場合は？

2 階差分を試す。 それでも非定常なら、 構造変化や明確なトレンドが疑われる。 対数変換、 季節差分、 トレンド除去を組み合わせる。 ARFIMA（分数階差分）も選択肢。

Q4. クロスセクションデータ（都道府県別、 国別）に定常性は適用される？

時系列の概念なので直接は適用されません。 ただし「群間均質性」「空間定常性」など類似概念はある。 SSDSE-B のような都道府県データでは、 「47 県の分布が単一の母集団から来ているか」という観点で議論できます。

Q5. パネルデータ（時系列 × クロスセクション）では？

パネル単位根検定（Im-Pesaran-Shin、 Levin-Lin-Chu、 Fisher-type など）がある。 個別系列ごとに定常性が異なる場合の処理も研究されている。

Q6. ARIMA で d を選ぶ実践的方法は？

(1) 系列プロットで明らかなトレンドがあれば $d \ge 1$、 (2) ADF で非定常なら差分を 1 回取って再検定、 (3) 定常になるまで繰り返す（通常 1 か 2 で十分）。 pmdarima.auto_arima で自動選択も。

Q7. 「定常」と「ホワイトノイズ」の違いは？

ホワイトノイズは最も基本的な定常系列（平均 0、 分散一定、 自己相関 0）。 定常系列の中には、 自己相関を持つもの（AR、 MA、 ARMA など）も含まれる。 ホワイトノイズ ⊂ 定常系列。

Q8. 季節性は「非定常」か「定常」か？

「決定的季節性」（毎年確実に夏は高い）は非定常。 「確率的季節性」（季節パターンが時間とともに変わる）も非定常。 季節差分や SARIMA でモデル化する。

Q9. 状態空間モデルでは定常性は不要？

状態空間モデルは非定常を直接扱えるので、 差分化は必須ではない。 ただしカルマンフィルタの収束や予測誤差の分散の解釈で、 状態方程式の定常性を意識する場面はある。

Q10. なぜ「単位根」と呼ぶ？

AR(p) モデル $\Phi(L) y_t = \varepsilon_t$ の特性方程式 $\Phi(z) = 0$ の根が単位円 $|z| = 1$ 上にあるとき。 つまり $\phi = 1$ のとき AR(1) なら $1 - L = 0$ の根は $z = 1$。 これが「単位根」の語源。

Q11. データが正規分布でなくても ADF 検定は使える？

ADF の漸近分布は誤差項の正規性に頼らない（Said-Dickey の証明）。 ただしサンプル数が少ないとき非正規性の影響を受ける。 ブートストラップ ADF や PP 検定で頑健化できる。

Q12. 「単位根がある」と「I(1)」は同じ？

ほぼ同義。 単位根を 1 つだけ持つ系列が I(1)（1 階の和分過程）。 単位根を 2 つ持てば I(2)、 一般に I(d) で $d$ 階差分で定常化する。

Q13. 株価収益率は定常か？

「価格」は非定常（ランダムウォークに近い）。 「対数収益率 $r_t = \log(p_t / p_{t-1})$」はおおむね定常（平均 0 付近、 分散ほぼ一定）。 ただし分散自体が時間変動するボラティリティクラスタリング → GARCH モデルへ。

Q14. 自然科学（気象・地震）でも定常性は重要？

はい。 気温の年次平均は地球温暖化で非定常（トレンド）、 地震の発生頻度は領域に依存して非定常。 「気候の定常性」が議論されることも。 ノイズ除去・予測モデルの基盤として、 自然科学でも標準概念。

Q15. 機械学習（LSTM、 Transformer）では定常性は不要？

深層学習モデルは非定常データも扱えるが、 「定常化＋学習」のほうが安定し、 サンプル効率も良い。 また定常化することで「真にモデルが捉えた関係」と「自明なトレンド」を区別できる。 ML でも前処理として推奨。

Q16. 「定常性検定をして p > 0.05 だったから非定常」と結論する危険性は？

p > 0.05 は「H₀ を棄却できない」だけで「H₀ が正しい」とは言わない。 サンプル数不足の可能性、 検出力の問題を考慮する。 単一の検定で断定せず、 ACF プロット、 ローリング統計量、 複数検定の結果を総合する。