📖 もっと詳しく

中央値（median）は、 データを大小順に並べたときちょうど真ん中の値。 47都道府県データなら、 24番目（または 23-24番目の平均）の値です。

強み：外れ値に強い。 1つの極端な値が混ざっても、 中央値はびくともしません。 「ロバストな中心」と呼ばれます。

使い場面：(i) 所得・支出・地価など歪んだ分布、 (ii) 外れ値が多いデータ、 (iii) 順位データ（順序尺度）。 「日本の平均年収」より「日本の中央値年収」の方が現実を反映することが多い。

箱ひげ図の中央線が中央値。 第2四分位（Q2）、 50%パーセンタイルとも同じ概念。 df.median() で計算。

🎨 直感で掴む — 中央値は「並べて真ん中」

中央値（median）は、 データを小さい順に並べた時の真ん中の値。 平均が「重心」だったのに対し、 中央値は「順位の中心」を表します。 47都道府県の住居費（2023年・ SSDSE-B-2026）を例に見ましょう。

各バーが1つの都道府県の住居費。 オレンジ色の24番目がちょうど中央 → これが中央値 18.47千円です。 赤い点線が平均（18.36千円）。 平均は住居費が高い少数の県（東京、 神奈川など）に引っ張られて高めに出ています。

💡 中央値は順序統計量と呼ばれる量の代表。 「データの値そのもの」ではなく「並び順での位置」を見るため、 外れ値や極端な値の影響を受けにくい性質があります。

🧮 計算ステップ — 7点抽出データで手計算

47都道府県データから等間隔で7県を抜き出して、 中央値を手で計算してみましょう。

1️⃣ 元のデータ（無秩序）

都道府県と住居費（千円/月）：

• 神奈川県：11.64
• 福井県：13.60
• 鹿児島県：22.96
• 島根県：15.88
• 長崎県：19.93
• 佐賀県：18.47
• 沖縄県：27.52

2️⃣ 小さい順に並べ替える

3️⃣ 真ん中（4番目）が中央値

n = 7（奇数）なので、 真ん中はちょうど (n+1)/2 = 4番目。

中央値 = 18.47 千円

4️⃣ もし n が偶数だったら？

n=6（例：上の表から最後を除く）の場合、 真ん中が「ない」。 そこで 3番目と4番目の平均を取ります：

• 3番目: 15.88
• 4番目: 18.47
• 中央値 = (15.88 + 18.47) / 2 = 17.174 千円

📐 数式と読み方ガイド

① 中央値の定義（数式）

データを並べたものを x_{(1)} ≤ x_{(2)} ≤ ... ≤ x_{(n)} とすると：

$$ \text{median}(x) = \begin{cases} x_{((n+1)/2)} & (n \text{ 奇数}) \\ \frac{x_{(n/2)} + x_{(n/2 + 1)}}{2} & (n \text{ 偶数}) \end{cases} $$

🔬 数式を言葉で読み解く — ② 連続分布での中央値

連続的な確率分布の場合、 累積分布関数 F の0.5 になる点：

$$ F(\text{median}) = 0.5 \quad \Leftrightarrow \quad P(X \le \text{median}) = 0.5 $$

「中央値以下の確率は50%、 以上の確率も50%」という最も基本的な性質。

③ 中央値の最小化問題

中央値はL1 損失を最小化する点として定義できます：

$$ \text{median}(x) = \arg\min_m \sum_i |x_i - m| $$

絶対値の和を最小化する m が中央値です。 これは平均が「二乗和」を最小化するのと対をなします。

④ 平均との対比

🛡️ 外れ値耐性 — 中央値の最大の強み

中央値が最も活躍するのは外れ値や歪んだ分布のとき。 平均との違いを実感する例を見ましょう。

左は正規分布のデータ。 平均と中央値はほぼ一致。
右は同じデータに外れ値（3000, 4500, 5000）を3つ追加。 平均は劇的に上昇するのに、 中央値はほとんど動かない。

崩壊点（breakdown point）

「データの何%まで汚染しても推定値が壊れないか」を表す指標：

• 平均：0%（1点でも極端な値があれば任意に動く）
• 中央値：50%（理論的最大値）
• トリム平均（α=20%）：20%

中央値の50%崩壊点は、 ロバスト統計量として理論的最高。 半分以上のデータが「正常」なら推定値は壊れない。

歪んだ分布での違い

所得分布、 株価変動、 都市人口、 地震被害額など、 多くの実データは右に裾の長い分布（対数正規、 Pareto等）。 平均は裾に引っ張られて「典型的でない」値になり、 中央値の方が「典型的な人」を表します。 「平均年収」より「中央値年収」を見るべき理由。

📏 中央絶対偏差 (MAD) — 中央値ベースのばらつき指標

平均にはペアとして「標準偏差」がありましたが、 中央値のロバスト版が MAD (Median Absolute Deviation)。

$$ \text{MAD} = \text{median}(|x_i - \text{median}(x)|) $$

計算手順

1. データの中央値を計算 → m
2. 各データ点について |x_i - m| を計算（中央値からの絶対距離）
3. その絶対距離の中央値を取る → MAD

標準偏差は外れ値に弱い（2乗するから極端値が支配的）ですが、 MAD は50%崩壊点を持つロバスト指標。 正規分布の場合、 σ ≈ 1.4826 × MAD という換算式があります。

Python での計算

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import numpy as np
from scipy import stats

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 100])  # 外れ値あり
median = np.median(data)
mad = np.median(np.abs(data - median))
print(f'中央値: {median}')
print(f'MAD: {mad}')

# scipy には組み込み関数がある
mad_scipy = stats.median_abs_deviation(data)
mad_scaled = stats.median_abs_deviation(data, scale='normal')  # 正規分布換算

📦 四分位と箱ひげ図 — 中央値の自然な拡張

中央値はデータの50%点。 これを25%、 75%にも拡張したのが四分位（quartile）。 そして四分位を可視化した最強のグラフが箱ひげ図。

四分位の定義

• Q1（第1四分位）：小さい方から25%地点 = 14.61 千円
• Q2（第2四分位 = 中央値）：50%地点 = 18.47 千円
• Q3（第3四分位）：75%地点 = 20.74 千円
• IQR（四分位範囲）：Q3 - Q1 = 6.13 千円（中央50%の幅）

箱ひげ図の読み方

1. 箱：Q1からQ3まで（中央50%のデータ）
2. 箱の中の太線：中央値（Q2）
3. ひげ（whisker）：通常 Q1 - 1.5×IQR から Q3 + 1.5×IQR の範囲
4. 点（outlier）：ひげの外側のデータ点 → 外れ値の候補

💡 箱ひげ図1枚で 中央値・四分位・データの散らばり・歪み・外れ値 全てが分かります。 探索的データ分析（EDA）の基本ツール。

⚙️ 中央値計算アルゴリズム

① ソートしてから取る（O(n log n)）

最も単純：全データをソートして、 真ん中を取り出す。 numpy/pandas のデフォルト実装。

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def median_sort(arr):
    sorted_arr = sorted(arr)  # O(n log n)
    n = len(sorted_arr)
    if n % 2 == 1:
        return sorted_arr[n // 2]
    else:
        return (sorted_arr[n // 2 - 1] + sorted_arr[n // 2]) / 2

② QuickSelect — O(n) 平均時間

クイックソートと同じ分割を、 必要な位置だけ続ける。 全部ソートしないので線形時間で中央値が求まる。

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import numpy as np

# numpy の partition は内部で QuickSelect 系のアルゴリズム
arr = np.random.randn(10**6)
k = len(arr) // 2
np.partition(arr, k)[k]   # O(n) で k 番目の値

③ ストリーミングデータ — オンライン中央値

データが1個ずつ来る場合、 ヒープを2つ（max-heap と min-heap）使うと O(log n) で更新可能。 IoT センサーや金融取引の中央値追跡で使われます。

🤖 機械学習での中央値

① 中央値回帰 (Quantile Regression)

通常の線形回帰は平均（期待値）を予測しますが、 中央値を予測する回帰もあります。 外れ値に強いロバスト回帰の代表。 損失関数は L1（絶対値）：

$$ L(\beta) = \sum_i |y_i - x_i^T \beta| $$

機械学習ライブラリ：sklearn.linear_model.QuantileRegressor、 statsmodels.regression.quantile_regression。

② 決定木の損失関数

決定木の回帰版で、 各葉ノードの「中央値」を予測値とする方法もあります（デフォルトは平均だが、 中央値ベースの方がロバスト）。

③ 欠損値の補完

欠損値を埋める時、 SimpleImputer(strategy='median') で中央値補完。 外れ値の影響を受けないので、 平均補完より安全。

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from sklearn.impute import SimpleImputer
imputer = SimpleImputer(strategy='median')
X_imputed = imputer.fit_transform(X)

④ Robust Scaling

標準化（標準偏差で割る）の代わりに、 中央値と IQR を使うスケーリング。 外れ値の影響を受けない前処理：

$$ x_{\text{scaled}} = \frac{x - \text{median}(x)}{\text{IQR}(x)} $$

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from sklearn.preprocessing import RobustScaler
scaler = RobustScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)

🐍 Python での計算

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import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

# pandas
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932')
median_housing = df['住居費'].median()
print(f'住居費の中央値: {median_housing:.2f}')

# numpy
arr = np.array([1, 3, 5, 7, 9, 11])
print(np.median(arr))         # 6.0（4と8の平均）

# 軸指定
mat = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print(np.median(mat, axis=0))  # [4, 5, 6] - 列ごと
print(np.median(mat, axis=1))  # [2, 5, 8] - 行ごと

# 欠損値を無視
arr_nan = np.array([1, 2, np.nan, 4])
print(np.nanmedian(arr_nan))   # 2.0

# 四分位
q1, q2, q3 = np.percentile(df['住居費'], [25, 50, 75])
print(f'Q1={q1:.2f}, Median={q2:.2f}, Q3={q3:.2f}')

# pandas describe（要約）
print(df['住居費'].describe())  # count/mean/std/min/25%/50%/75%/max

箱ひげ図の描画

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import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# 1変数の箱ひげ図
sns.boxplot(y=df['住居費'])

# カテゴリ別の箱ひげ図
sns.boxplot(x='地域', y='住居費', data=df)

# violin plot（分布の形も見える進化版）
sns.violinplot(x='地域', y='住居費', data=df, inner='quartile')

🌳 平均 vs 中央値 — 使い分けフロー

1. 分布の形をヒストグラムで確認
   • 対称・正規分布に近い → 平均が最適
   • 歪んでいる、 裾が長い → 中央値が安全
2. 外れ値の存在
   • なし → 平均
   • あり、 真のデータと判断 → 中央値（または変換後の平均）
   • あり、 ノイズと判断 → 外れ値除去後の平均
3. 目的別
   • 合計が意味を持つ（売上、 給料総額）→ 平均（× n = 合計）
   • 「典型的な値」→ 中央値
   • 不確実性評価 → 平均 + 信頼区間 or 中央値 + IQR

💡 報告では両方を併記するのが最も誠実。 「平均500万円、 中央値450万円」と書けば、 分布の歪みも示唆できる。

📜 中央値の歴史

• Edward Wright（1599）：航海術の本で「複数の方位観測の中央値」を提案。 文献上の中央値の最古の使用例
• Boscovich（1755）：天文観測で最初に中央値ベースの推定を試みる
• Laplace（1774）：「中央値が L1 損失を最小化する」を証明
• Galton（1869）：「median」という用語を初めて使用
• Tukey（1977）：箱ひげ図を発明し、 中央値を視覚化の中心に据える

平均よりも歴史は若いですが、 「外れ値に強い代表値」として近代統計の発展に欠かせない概念に。

🗺️ 概念マップ — 3つの視点で体系を理解する

中央値 がデータサイエンスの体系の中でどこに位置するかを、 3つの異なる視点で可視化します。 同じ情報でも見方を変えると気付きが変わります。

📍 体系階層のパス

🌐 統計・データサイエンス › 記述統計 › 中心傾向 › 中央値

① 🔗 関係マップ — 「他の手法とどう繋がっているか」

中心の概念から放射状に、 前提・兄弟・発展形・応用先などの関係性を矢印で結びます。 横の繋がりを見るのに最適。 ノードをドラッグ、 ホイールでズーム、 クリックで遷移。

② ⭕ 包含マップ — 「どのカテゴリに含まれているか」

大きな円が小さな円を包含する Circle Packing 図。 「中央値」は緑色でハイライト。

• カテゴリ円をクリック：その内部にズームイン
• 白背景クリック：1階層戻る
• 用語円をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パス表示

③ 🌳 ツリーマップ — 「面積で見るボリューム比較」

長方形を入れ子に分割した Treemap 図。 各分野の規模感を面積で比較。 「中央値」は緑色でハイライト。

• カテゴリ矩形をクリック：その内部にドリルダウン
• パンくず（上のリンク）クリック：その階層に戻る
• 用語矩形をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パスと値を表示

🎯 3つのマップの使い分け

💡 ジャストインタイム学習のヒント：3つの視点を行き来することで、 概念を多角的に理解できます。 包含マップやツリーマップはズーム/ドリルダウンで大分類から細部まで探索できます。

🧮 SSDSE-B を使った中央値の実例 — 県民所得

SSDSE-B（2020年）の「1人当たり県民所得」で平均と中央値を比較し、 中央値の有用性を確認します。

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import pandas as pd
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2023.csv', encoding='shift_jis', header=[0,1])
df.columns = ['_'.join(c).strip() for c in df.columns]
income = df[df['年度_Year'] == 2020]['1人当たり県民所得'].dropna()

print(f'n = {len(income)}')
print(f'平均   = {income.mean():.1f}')
print(f'中央値 = {income.median():.1f}')
print(f'最大値 = {income.max():.1f}（東京）')
print(f'最小値 = {income.min():.1f}（沖縄など）')
print(f'歪度  = {income.skew():.3f}')

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import numpy as np
# 仮に「東京の所得が突然3倍になった」と仮定
income_extreme = income.copy()
income_extreme[income_extreme.idxmax()] *= 3
print(f'平均  (元) = {income.mean():.1f} → (変動後) {income_extreme.mean():.1f}（{(income_extreme.mean()-income.mean()):.1f} 変動）')
print(f'中央値(元) = {income.median():.1f} → (変動後) {income_extreme.median():.1f}（{(income_extreme.median()-income.median()):.1f} 変動）')
# 平均は約16万円変動、 中央値は1円も動かない → ロバスト性の真髄

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q1, q3 = income.quantile([0.25, 0.75])
iqr = q3 - q1
mad = (income - income.median()).abs().median()  # 中央絶対偏差
print(f'Q1 = {q1:.1f}, Q3 = {q3:.1f}, IQR = {iqr:.1f}')
print(f'MAD = {mad:.1f}')
print(f'SD (比較) = {income.std():.1f}')
# 散布度の頑健指標：MAD・IQR ＜ SD ＜ 分散 の順にロバスト性が低下

🐍 実装バリエーション — pandas / numpy / scipy / statsmodels

(A) pandas / numpy — 基本

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import pandas as pd
import numpy as np
s = pd.Series([1, 2, 3, 100])
print(s.median())  # 2.5
print(np.median(s))  # 2.5
print(np.percentile(s, 50))  # 2.5（中央値 = 50%パーセンタイル）
print(np.quantile(s, 0.5))  # 2.5

(B) scipy.stats — トリム平均・幾何平均など

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from scipy import stats
data = [1, 2, 3, 4, 100]
print(stats.tmean(data, limits=(2, 50)))  # 切断平均（範囲内のみ）
print(stats.trim_mean(data, 0.1))         # 上下10%トリム
print(stats.gmean(data))                   # 幾何平均（対数正規分布向け）
print(stats.hmean(data))                   # 調和平均（比率の集約向け）

(C) statsmodels — 分位点回帰

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import statsmodels.formula.api as smf
# 「中央値」を目的とした回帰（外れ値に強い）
mod = smf.quantreg('y ~ x1 + x2', data=df).fit(q=0.5)
print(mod.summary())
# 通常の OLS（平均回帰）の頑健代替。 q=0.25, 0.75 で他分位点も推定可

(D) scikit-learn — Huber 回帰（ロバスト）

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from sklearn.linear_model import HuberRegressor
hr = HuberRegressor(epsilon=1.35).fit(X, y)
# 中央値ベースではないが、 外れ値に強い線形回帰

(E) scipy.stats による中央値検定（Mood's median test）

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from scipy.stats import median_test
stat, p, m, table = median_test(group1, group2)
print(f'統計量 = {stat:.3f}, p = {p:.4f}')
# 2群の中央値が等しいかを検定（χ²ベース）

⚠️ 追加の落とし穴 — 中央値の実務

🔗 関連用語（拡張マップ）

📚 前提となる用語（4個以上）

🔀 並列・関連指標（4個以上）

🚀 発展・応用先（4個以上）