📖 もっと詳しく

共分散（covariance）は、 「2つの変数がどれだけ一緒に動くか」を測る量。 相関係数の 分子 として登場します。

計算：「x のズレ × y のズレ」の平均。 同方向に動けば正、 逆方向に動けば負、 無関係なら 0 付近。

弱点：単位依存。 「身長 cm × 体重 kg」と「身長 m × 体重 g」では、 同じ関係でも共分散の値が大きく変わります。 だから「共分散 = 100 と 10 のどちらが強い関係か」は判断不能。

解決策：単位を打ち消すため、 各変数の標準偏差で割って規格化したのが 相関係数。 これで必ず -1〜+1 に収まり、 違う変数ペアの強さを比較できる。

重要応用：分散共分散行列は PCA・回帰の基礎。 多変量データの構造を表す最重要行列です。

👁️ 直感 — 共分散は「一緒に動くか」

共分散（covariance）は、 2つの変数が同じ方向に動くか、 逆方向に動くかを測る指標。 散布図上で「平均からのズレが正負どちらの組合せか」を集計します。

2変数（X, Y）の平均で4つの象限に分けると：

• 第1象限（両方 +）→ (xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ) は正
• 第3象限（両方 -）→ (xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ) は正（負×負=正）
• 第2・4象限（一方+、 一方-）→ 負

この積をすべて足し、 n（または n-1）で割ったものが共分散。 正の象限が多ければ正の共分散、 負が多ければ負の共分散。

💡 共分散は分散の2変数版。 分散が「X が X 自身とどう動くか」（同じ変数）を測るのに対し、 共分散は「X と Y がどう一緒に動くか」を測る。

🧮 計算ステップ — 東北6県の共分散を手計算

東北6県の食料費と教育費の共分散を計算します。 (x̄ = 80.82, ȳ = 7.73)

共分散の値

• 標本共分散（÷n）: 15.7168 ÷ 6 = 2.6195
• 不偏共分散（÷(n-1)）: 15.7168 ÷ 5 = 3.1434

📐 数式と読み方

① 標本共分散

$$ s_{xy} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $$

② 母共分散

$$ \sigma_{xy} = \mathbb{E}[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] $$

③ 計算用別形式

展開すると：

$$ s_{xy} = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y} = \frac{1}{n}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y} $$

記号の読み方

🔗 共分散 → 相関係数 — 単位を消して比較可能に

共分散の最大の問題は単位に依存すること。 同じデータでも単位を変えると値が変わります：

千円単位だと cov ≈ 8、 円単位だと cov ≈ 8,000,000。 数字だけ見ても「強い関係か弱い関係か」が判断できません。

正規化 → 相関係数

共分散を、 両変数の標準偏差の積で割ることで単位を消すのが相関係数：

$$ r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{s_{xy}}{s_x \, s_y} $$

これにより値は必ず -1 ≤ r ≤ +1 の範囲に収まり、 単位に依存しなくなります。 SSDSE 食料費×教育費の場合：

• 共分散: cov = 17.906
• 食料費の標準偏差: σ_x = 5.842
• 教育費の標準偏差: σ_y = 4.212
• 相関係数: r = 17.906 ÷ (5.842 × 4.212) = 0.7277

💡 覚え方：「共分散 ÷ 両方の標準偏差 = 相関係数」。 相関係数は正規化された共分散。 これによりどんな変数のペアでも比較可能に。

🎲 共分散行列 — 多変量の関係を一気に表現

変数が3つ以上ある場合、 すべてのペアの共分散を行列にまとめたものが共分散行列。

$$ \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_y^2 & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_z^2 \end{pmatrix} $$

• 対角成分：各変数の分散（σ_x², σ_y², σ_z²）
• 非対角成分：変数ペアの共分散（σ_xy = σ_yx で対称行列）

共分散行列の性質

1. 対称：Σᵢⱼ = Σⱼᵢ
2. 半正定値：すべての固有値が非負
3. 対角成分は分散：常に非負

主要な応用

• PCA：共分散行列の固有値分解で主成分軸を見つける
• マハラノビス距離：Σ⁻¹ で異常検知
• 多変量正規分布：Σ がパラメータ
• ポートフォリオ最適化：資産の共分散行列でリスク計算
• Kalman フィルタ：状態と観測の共分散を追跡

🔧 共分散の性質 — 線形変換

① 対称性

$$ \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X) $$

② 自分自身との共分散は分散

$$ \text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X) $$

③ 線形変換

$$ \text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \cdot \text{Cov}(X, Y) $$

定数倍は乗算、 加算は影響なし。 単位変換で共分散が変わる原因。

④ 独立なら共分散ゼロ

X と Y が独立 ⇒ Cov(X, Y) = 0（逆は成立しない！ 共分散ゼロでも非線形に依存することがある）

⑤ 和の分散

$$ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) $$

共分散項があるため、 一般には和の分散は単純な和ではない。 ポートフォリオ理論の基礎。

💰 ポートフォリオ理論への応用

投資の世界で共分散はリスク計算の中核。 Markowitz の現代ポートフォリオ理論（1952）の基礎。

ポートフォリオのリスク

2資産（A, B）に重み w_A, w_B で投資する場合のリスク（分散）：

$$ \sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \text{Cov}(A, B) $$

ポイント：共分散が小さい（あるいは負の）資産を組み合わせると、 ポートフォリオ全体のリスクが小さくなる。 これが分散投資の数学的根拠。

分散投資の効果

• 同じ業種の銘柄ばかりだと共分散が高い → リスク減らない
• 株式と債券（共分散が低い）を組み合わせる → リスク減る
• 株式と金（負の共分散）を組み合わせる → リスク大幅減

多変量への拡張

$$ \sigma_p^2 = \mathbf{w}^T \Sigma \mathbf{w} $$

w は重みベクトル、 Σ は資産の共分散行列。 機関投資家の最適化計算の中核式。

🤖 機械学習での共分散

① PCA（主成分分析）

PCA は共分散行列 Σ の固有値分解で実装：

$$ \Sigma = V \Lambda V^T $$

固有ベクトル V が主成分軸、 固有値 Λ が各軸の分散。 「最も分散が大きい方向」が第1主成分。

② 線形判別分析 (LDA)

クラス内共分散とクラス間共分散の比を最大化する。 共分散構造に基づく分類。

③ ガウス混合モデル (GMM)

複数の多変量正規分布の組合せでデータ生成過程をモデル化。 各分布が共分散行列を持つ。

④ 共分散関数（カーネル）

ガウス過程回帰では、 「入力空間での近さ」を共分散関数で測ります。 RBFカーネルなど。

⑤ Whitening 変換

共分散行列 Σ を単位行列に変換する前処理。 PCA + 標準化のような効果で、 学習を加速します。

🐍 Python での計算

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15

import numpy as np
import pandas as pd

# 2変数の共分散
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 5, 7, 9])

# numpy
cov_mat = np.cov(x, y)         # 2x2 行列
print(cov_mat[0, 1])           # x と y の共分散

# pandas
df = pd.DataFrame({'x': x, 'y': y})
print(df.cov())                # 共分散行列
print(df['x'].cov(df['y']))    # 個別の共分散

共分散行列（多変量）

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15

cols = ['食料費', '住居費', '教育費', '光熱費']
cov_matrix = df[cols].cov()
print(cov_matrix)

# 相関行列に変換
import numpy as np
def cov_to_corr(cov):
    sd = np.sqrt(np.diag(cov))
    return cov / np.outer(sd, sd)

corr_matrix = cov_to_corr(cov_matrix.values)
print(corr_matrix)

# pandas で直接
print(df[cols].corr())

ddof（自由度）の指定

ポートフォリオ分散の計算

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10

def portfolio_variance(weights, cov_matrix):
    # σ_p^2 = w^T Σ w
    return weights.T @ cov_matrix @ weights

w = np.array([0.6, 0.4])    # 60% 株, 40% 債券
returns_cov = np.array([
    [0.04, 0.01],
    [0.01, 0.02]
])
print(portfolio_variance(w, returns_cov))

🚧 共分散の落とし穴

1️⃣ 単位への依存 — 直接比較不可

同じデータでも単位を変えると共分散が変わる。 「強い関係か弱いか」を判断するには相関係数を使うこと。

2️⃣ 共分散ゼロ ≠ 独立

共分散ゼロでも非線形な関係（U字、 周期的）はあり得ます。 共分散はあくまで「線形な共変動」のみを捉える指標。

3️⃣ 外れ値の影響

偏差の積を取るので、 外れ値1つで共分散が大きく動きます。 散布図で外れ値を確認してから判断。

4️⃣ 因果関係ではない

共分散が大きい ≠ 因果関係がある。 第3変数（交絡変数）の可能性を常に考慮。

5️⃣ 非線形関係を見逃す

共分散は線形関係のみを測るため、 非線形関係は数値に反映されない。 散布図と組み合わせて判断。

📜 共分散の歴史

• Francis Galton（1888）：身長の親子関係を研究中に共分散の概念に到達
• Karl Pearson（1894）：共分散と相関係数を厳密に定式化
• Fisher（1925）：共分散行列を多変量解析の中核に位置づける
• Markowitz（1952）：共分散行列を金融ポートフォリオ理論に応用 → 1990年ノーベル経済学賞
• Kalman（1960）：状態空間モデルで共分散行列を時系列に応用 → カルマンフィルタ

📖 包括的解説 — この概念を完全マスター

📍 学習の3ステップ

1. 定義を理解する：この概念は何か？ 数式や条件を確認
2. 具体例を見る：実データ（SSDSE 等）で計算してみる
3. 応用する：自分のデータに適用、 結果を解釈

🔧 Python実装パターン

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16

# 基本パターン
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# データ読み込み
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='cp932')

# 基本統計量
df.describe()

# 可視化
sns.pairplot(df[['食料費', '教育費', '住居費']])
plt.show()

📚 統計概念マップでの位置

このページの上にある3つの概念マップ（関係マップ、 包含マップ、 ツリーマップ）でこの概念の位置づけが視覚的に分かります。 関連手法を辿って学習を進めましょう。

🎯 SSDSE-B-2026 で挑戦

統計データ活用コンペティションのSSDSE-B-2026データは、 47都道府県の社会経済データ。 この概念を使って以下のような分析ができます：

• 地域別の特徴抽出
• 家計支出パターンの解析
• 人口動態と社会経済指標の関連
• 気候要因の影響評価

💡 よく使うコマンド集

🚧 一般的な落とし穴と対策

• 外れ値の影響：散布図・ 箱ひげ図で確認、 ロバスト手法も検討
• サンプルサイズ不足：power analysis で事前に確認
• 仮定の違反：正規性、 独立性、 等分散性をチェック
• 多重比較問題：補正（Bonferroni、 FDR）を適用
• p-hacking：事前登録（pre-registration）で防ぐ
• 因果と相関の混同：観察データから因果結論を出さない

📊 結果報告の標準フォーマット

• 点推定：得られた値
• 不確実性：信頼区間または標準誤差
• サンプルサイズ：n を明記
• 効果量：実質的な意義
• p値：統計的有意性
• 仮定の確認：診断プロット

🌐 関連分野での応用

• マーケティング：A/Bテスト、 顧客分析
• 医療：臨床試験、 疫学研究
• 金融：リスク管理、 ポートフォリオ
• 製造：品質管理、 工程最適化
• 公共政策：効果評価、 計画立案
• 研究：仮説検証、 探索的解析

🎓 さらに学ぶための文献

• Wasserman "All of Statistics"
• Hastie, Tibshirani & Friedman "The Elements of Statistical Learning"
• Gelman & Hill "Data Analysis Using Regression"
• VanderPlas "Python Data Science Handbook"

🔗 統計用語ネットワーク

この概念は、 他の多くの統計概念と密接に関連しています。 ジャストインタイム型学習では、 必要に応じて関連用語へジャンプしながら全体像を構築します。

主要な関連概念のグループ

学習順序の推奨

1. 記述統計（平均、 分散、 標準偏差）
2. 可視化（ヒストグラム、 散布図）
3. 確率分布（正規分布）
4. 推測統計（標準誤差、 信頼区間、 p値）
5. 仮説検定（t検定、 χ²検定）
6. 相関と回帰（単回帰、 重回帰）
7. 多変量解析（PCA、 クラスタリング）
8. 機械学習（決定木、 RF、 NN）
9. 時系列・因果推論（応用）

📝 実践練習 — SSDSE-B-2026 で挑戦

初級課題

1. 東北6県の家計食料費の基本統計量を計算
2. 食料費のヒストグラムを描く
3. 食料費と教育費の散布図を描く
4. 都道府県を「東日本/西日本」に分け、 平均を比較

中級課題

1. 家計支出 5項目で相関行列を作成、 ヒートマップ可視化
2. 食料費 → 教育費の単回帰を実行、 残差分析
3. 家計5項目で PCA を実施、 バイプロット表示
4. k-means (k=3) で都道府県をクラスタリング、 解釈

上級課題

1. 地域別の家計パターンに有意差があるか ANOVA で検定
2. 重回帰で教育費を予測、 多重共線性を VIF で確認
3. Ridge/LASSO で正則化、 CV で α を最適化
4. 階層クラスタリングと Ward 法で都道府県を分類、 デンドログラム作成

🧮 SSDSE-B 実値計算例：47都道府県の家計5変数の分散共分散行列

SSDSE-B-2026 2023年データから、 家計5変数（魚介・肉・野菜・果物・酒類）の共分散行列を計算し、 PCA・マハラノビス距離との関係を見ます。

📊 ステップ1：分散共分散行列の値

各変数を 1000円単位にスケールして共分散行列 Σ を計算した例（仮想的な実値）：

※対角は分散、 オフ対角は共分散。 単位は (千円)²。 すべて正なので「どの食品も一緒に増えやすい」傾向。 これは家計の総支出という共通因子の存在を示唆。

📊 ステップ2：PCA を共分散行列の固有値分解として理解

固有値分解 Σ = V Λ V^T を行うと、 固有値の大きい順に主成分が並びます：

• λ₁ ≈ 92.4（全分散の 56.4% を説明）→ 「総支出量」軸
• λ₂ ≈ 28.7（17.5%）→ 「魚介 vs 肉」軸
• λ₃ ≈ 18.2（11.1%）→ 「果物 vs 酒類」軸
• λ₄ ≈ 13.1（8.0%）
• λ₅ ≈ 11.5（7.0%）

第1〜第2主成分で 74% の情報を保持。 共分散行列は多変量データの構造を凝縮した行列です。

📊 ステップ3：マハラノビス距離で「特異な県」を検出

マハラノビス距離 $D^2 = (x-\mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu)$ は、 共分散の構造を考慮した「異常さの度合い」。 47県でこの値が大きい県（D > 4 程度）は、 一般的な家計パターンから離れた特異な県と言えます。 沖縄県は酒類消費が独特で、 マハラノビス距離が大きく出る代表例。

⚠️ 共分散の落とし穴（深掘り版・6件）

🐍 Python 実装バリエーション

① NumPy / Pandas（基本）

1
2
3
4
5

import numpy as np
cov_matrix = np.cov(X.T)  # 各列を変数とみなす（注意：行列の向き）
# pandas なら直接
cov_df = df[['魚介', '肉', '野菜']].cov()
print(cov_df)

② scikit-learn — 縮約推定（Ledoit-Wolf）

高次元データや小サンプルでは、 標本共分散より縮約推定の方が安定。

1
2
3
4

from sklearn.covariance import LedoitWolf, MinCovDet, GraphicalLassoCV
lw = LedoitWolf().fit(X)
print(lw.covariance_, lw.shrinkage_)
# ロバスト共分散（外れ値に強い）

③ scikit-learn — マハラノビス距離

1
2
3
4

from sklearn.covariance import EmpiricalCovariance
cov = EmpiricalCovariance().fit(X)
d_squared = cov.mahalanobis(X)  # 各サンプルのマハラノビス距離²
print(sorted(d_squared)[-5:])  # 最も外れた5サンプル

④ scipy.stats.multivariate_normal — 多変量正規の確率密度

1
2
3

from scipy.stats import multivariate_normal
mvn = multivariate_normal(mean=X.mean(0), cov=np.cov(X.T))
print(mvn.pdf(X[0]))  # 観測値の確率密度

⑤ statsmodels — 重み付き / 加重共分散

1
2
3
4

import numpy as np
# 標本ウェイト付き共分散
cov_w = np.cov(X.T, aweights=weights)
# 時系列の EWMA 共分散は pandas で：df.ewm(span=20).cov()

🔗 関連用語（深掘り版・前提/並列/発展）

📚 前提（4個以上）

• 代表値（平均）：偏差の基点
• ばらつき（分散）：共分散の対角成分
• 確率分布：期待値の理論
• 期待値（平均）：共分散の数学的定義の基礎
• 線形代数：行列としての扱い

🔀 並列（4個以上）

• 相関係数：規格化された共分散
• スピアマン順位相関：単調関係用
• ケンドールの τ（順位ベース）
• 距離相関：非線形対応
• 相互情報量（情報理論的依存指標）

🚀 発展（4個以上）

• 主成分分析（PCA）：共分散行列の固有値分解
• 因子分析：共分散構造のモデル化
• マハラノビス距離（共分散の逆行列を利用）
• 多変量正規分布：共分散行列が定義する分布
• 縮約推定（Ledoit-Wolf 縮約）：高次元安定化
• グラフィカル LASSO：スパース精度行列
• ポートフォリオ理論 / 共分散行列の応用：金融応用

🗺️ 概念マップ — 3つの視点で体系を理解する

共分散 がデータサイエンスの体系の中でどこに位置するかを、 3つの異なる視点で可視化します。 同じ情報でも見方を変えると気付きが変わります。

📍 体系階層のパス

🌐 統計・データサイエンス › 記述統計 › ばらつき › 共分散

① 🔗 関係マップ — 「他の手法とどう繋がっているか」

中心の概念から放射状に、 前提・兄弟・発展形・応用先などの関係性を矢印で結びます。 横の繋がりを見るのに最適。 ノードをドラッグ、 ホイールでズーム、 クリックで遷移。

② ⭕ 包含マップ — 「どのカテゴリに含まれているか」

大きな円が小さな円を包含する Circle Packing 図。 「共分散」は緑色でハイライト。

• カテゴリ円をクリック：その内部にズームイン
• 白背景クリック：1階層戻る
• 用語円をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パス表示

③ 🌳 ツリーマップ — 「面積で見るボリューム比較」

長方形を入れ子に分割した Treemap 図。 各分野の規模感を面積で比較。 「共分散」は緑色でハイライト。

• カテゴリ矩形をクリック：その内部にドリルダウン
• パンくず（上のリンク）クリック：その階層に戻る
• 用語矩形をクリック：詳細ページへ遷移
• マウスホバー：階層パスと値を表示

🎯 3つのマップの使い分け

💡 ジャストインタイム学習のヒント：3つの視点を行き来することで、 概念を多角的に理解できます。 包含マップやツリーマップはズーム/ドリルダウンで大分類から細部まで探索できます。