📐 1. モーメントとは

確率変数 $X$ のk 次のモーメントとk 次の中心モーメント：

$$m_k = \mathbb{E}[X^k], \quad \mu_k = \mathbb{E}[(X-\mu)^k]$$

🔬 数式を言葉で読み解く

記号読み：$m_k$ は「エム・サブ・ケー」原点周りのモーメント、 $\mu_k$ は「ミュー・サブ・ケー」中心モーメント、 $\mu = m_1$ は平均。 $\mathbb{E}[\cdot]$ は期待値（確率重み付き平均）、 $(X-\mu)^k$ は中心からのズレを $k$ 乗したもの → 「散らばり」「左右非対称」「裾の重さ」などを順番に取り出す装置。

🌐 関連手法・派生：モーメントは 分散・標準偏差・正規分布のパラメータ推定（モーメント法）と直結します。 高次モーメントは分布形状判定の核です。

主要モーメント

• 1次原点モーメント：平均
• 2次中心モーメント：分散 $\sigma^2$
• 3次中心モーメント / σ³：歪度
• 4次中心モーメント / σ⁴：尖度（生）

↔️ 2. 歪度（Skewness）

$$\gamma_1 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right] = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

記号読み：$\gamma_1$ は「ガンマ・サブ・1」歪度。 標本では Fisher–Pearson 標準化 $g_1 = \sum (x_i-\bar{x})^3 / (n\sigma^3)$。

解釈

実値計算

データ [1, 2, 2, 3, 10]：平均 3.6、 σ ≈ 3.36

• 偏差: -2.6, -1.6, -1.6, -0.6, 6.4
• 3乗の平均: $((-2.6)^3 + (-1.6)^3·2 + (-0.6)^3 + 6.4^3)/5 \approx 49.6$
• 歪度: $49.6 / 3.36^3 \approx 1.31$ （右に大きく歪む）

1
2
3
4
5

import pandas as pd
from scipy import stats
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='utf-8', skiprows=1)
for col in ['一人当たり県民所得', '人口密度', '高齢化率', '持ち家比率']:
    print(f'{col}: skew = {df[col].skew():.3f}')

🗻 3. 尖度（Kurtosis）

$$\beta_2 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$$

記号読み：$\beta_2$ は生尖度。 正規分布で 3 になる。

超過尖度（Excess Kurtosis）

$$\gamma_2 = \beta_2 - 3$$

正規分布の尖度 3 を基準に「ゼロ中心」に修正。 pandas / scipy はこちらを返す。

解釈

1
2

for col in ['一人当たり県民所得', '人口密度', '高齢化率', '持ち家比率']:
    print(f'{col}: kurtosis = {df[col].kurtosis():.3f}')

🧪 4. 正規性の検定

• Shapiro–Wilk（小〜中標本で強力）
• Jarque–Bera（歪度と尖度ベース、 大標本で良好）
• D'Agostino K²（同じく歪度・尖度）
• Kolmogorov–Smirnov（経験 CDF と理論 CDF の最大差）
• Anderson–Darling（K-S の改良、 裾に敏感）

1
2
3
4
5

from scipy import stats
x = df['一人当たり県民所得']
print('Shapiro:', stats.shapiro(x))
print('Jarque-Bera:', stats.jarque_bera(x))
print('D\'Agostino:', stats.normaltest(x))

4.1 QQ プロット

標本分位点 vs 理論分位点。 一直線なら正規。 目視で正規性を確認する最強の方法。

1
2
3
4

import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
sm.qqplot(x, line='s')
plt.show()

4.2 Jarque–Bera 統計量

$$JB = \frac{n}{6}\left(\gamma_1^2 + \frac{\gamma_2^2}{4}\right)$$

正規分布のもと $\chi^2_2$ に従う。

🔄 5. 歪んだデータの変換

5.1 対数変換

右歪みデータ（所得、 価格、 待ち時間など）に有効。 $y = \log(x+1)$ で 0 も扱える。

1
2
3
4

import numpy as np
df['log_所得'] = np.log1p(df['一人当たり県民所得'])
print('変換前 skew:', df['一人当たり県民所得'].skew())
print('変換後 skew:', df['log_所得'].skew())

5.2 Box-Cox 変換

$$y(\lambda) = \begin{cases} (x^\lambda - 1)/\lambda & (\lambda \ne 0) \\ \log x & (\lambda = 0)\end{cases}$$

$\lambda$ を最尤推定して最も正規に近づける。 $x > 0$ が必要。

5.3 Yeo-Johnson 変換

Box-Cox を負の値にも拡張した変換。

1
2
3
4

from sklearn.preprocessing import PowerTransformer
pt = PowerTransformer(method='yeo-johnson')
df[['所得_yj']] = pt.fit_transform(df[['一人当たり県民所得']])
print(df['所得_yj'].skew())

📊 6. 主要分布の歪度・尖度

⚠️ 7. よくある落とし穴

🏋️ 8. 練習問題（SSDSE-B-2026）

1
2
3
4
5

import pandas as pd
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='utf-8', skiprows=1)
num = df.select_dtypes(include='number')
sk = num.skew().sort_values(ascending=False)
print(sk.head(10))

1
2
3
4
5
6
7
8
9

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 8))
df['人口密度'].hist(ax=axes[0,0], bins=20); axes[0,0].set_title(f'生 skew={df["人口密度"].skew():.2f}')
np.log1p(df['人口密度']).hist(ax=axes[0,1], bins=20); axes[0,1].set_title(f'log skew={np.log1p(df["人口密度"]).skew():.2f}')
sm.qqplot(df['人口密度'], line='s', ax=axes[1,0])
sm.qqplot(np.log1p(df['人口密度']), line='s', ax=axes[1,1])
plt.tight_layout(); plt.show()

1
2
3
4
5

from scipy import stats
for col in num.columns[:10]:
    sw = stats.shapiro(num[col]).pvalue
    jb = stats.jarque_bera(num[col]).pvalue
    print(f'{col}: SW p={sw:.4f}, JB p={jb:.4f}')

📝 9. 報告フォーマット

❌ NG例

「人口密度は歪んでいたので log を取りました。」

✅ OK例

「人口密度は強い右歪み（歪度 = 3.45, 超過尖度 = 13.2、 Shapiro–Wilk p < .001、 QQ プロットも著しく逸脱）を示したため、 log1p 変換を適用。 変換後は歪度 0.18、 超過尖度 -0.42、 QQ プロットでもおおむね一直線に。 以降の解析は変換後の値で実施。」

🐍 10. ライブラリ早見表

📜 11. 形状指標の歴史

• 1900：Pearson が歪度・尖度を体系化（Pearson family）
• 1908：Fisher が Fisher–Pearson 歪度を提案
• 1965：Shapiro & Wilk が小標本正規性検定を提案
• 1964：Box & Cox の変換
• 1980：Jarque & Bera の検定
• 2000：Yeo & Johnson が負値対応版を提案

💼 12. 実務応用

• 金融：リターンの裾が厚い（leptokurtic）→ リスク評価に正規仮定は危険
• 所得分析：強い右歪み → 中央値とジニ係数の併用
• 品質管理：管理図の正規性チェック
• 機械学習前処理：歪んだ特徴量は log / Box-Cox で変換
• サバイバル分析：右歪みデータの典型例
• マーケティング：購買金額が右歪み → 対数で扱う

📊 13. 高階モーメント・関連指標

5次モーメント以上

金融工学では「co-skewness」「co-kurtosis」など多変量への拡張が研究されています。 ただし高次モーメントは標本誤差が大きく、 実務では 3 次・4 次までが標準。

L-moments（L-モーメント）

順序統計量に基づくモーメント。 通常のモーメントより外れ値に頑健。 水文学・気象統計でよく使われる。

$$L_1 = E[X_{1:1}], \quad L_2 = (E[X_{2:2}] - E[X_{1:2}])/2, \dots$$

L-skewness $\tau_3 = L_3/L_2$、 L-kurtosis $\tau_4 = L_4/L_2$ は有界。

頑健な歪度・尖度

• Bowley の歪度：$(Q_3 + Q_1 - 2Q_2)/(Q_3 - Q_1)$
• 八分位歪度：八分位点を使う
• octile-based kurtosis：尖度の頑健版

🔢 14. モーメント母関数（MGF）

$$M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]$$

テイラー展開すると：

$$M_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{m_k}{k!} t^k$$

つまりすべてのモーメントを内包する関数。 分布の同一性・独立和の証明等に多用される。

特性関数

$\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$。 MGF が存在しない分布でも常に存在し、 分布を一意に決める。

✅ 15. 分布形状チェックリスト

• □ 平均と中央値の乖離を確認したか？（乖離 = 歪み）
• □ 歪度を計算したか？（|skew| > 1 で強い歪み）
• □ 超過尖度を計算したか？
• □ QQ プロットを描いたか？
• □ 1 つ以上の正規性検定を実施したか？
• □ 検定 p値だけでなく効果量（歪度・尖度の値）も見たか？
• □ 外れ値の影響を確認したか？
• □ 必要なら log / Box-Cox / Yeo-Johnson 変換したか？
• □ 変換後の歪度・尖度を確認したか？

📐 16. 主要分布の歪度・尖度（数式）

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$

$\gamma_1 = 0,\ \gamma_2 = 0$（基準）

一様分布 $U(a, b)$

$\gamma_1 = 0,\ \gamma_2 = -6/5 = -1.2$（平坦）

指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$

$\gamma_1 = 2,\ \gamma_2 = 6$（強い右歪み・厚裾）

カイ二乗分布 $\chi^2_k$

$\gamma_1 = \sqrt{8/k},\ \gamma_2 = 12/k$（k が小さいほど強い歪み）

ガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(\alpha, \beta)$

$\gamma_1 = 2/\sqrt{\alpha},\ \gamma_2 = 6/\alpha$

ベータ分布 $\mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

$\alpha > \beta$ で左歪み、 $\alpha < \beta$ で右歪み。 $\alpha=\beta$ で対称。

対数正規分布

$\gamma_1 = (e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1}$。 $\sigma$ が小さくても顕著な右歪み。

t分布 (df=ν, ν≥5)

$\gamma_1 = 0,\ \gamma_2 = 6/(\nu-4)$（裾が厚い）

🎲 17. シミュレーションで形状を理解

本講座は実データのみを扱いますが、 教育目的では「ある分布から大量サンプリングして歪度・尖度の収束を見る」シミュレーションが有効。 本ページでは数式と SSDSE-B の実データ計算で代替します。

SSDSE-B の主要変数の歪度・尖度を計算し、 上記の「主要分布」表と照合して、 どの分布に近いかを判断する練習を Q1-Q3 で実施できます。

❓ 18. よくある質問

Q. 「歪度・尖度」だけでデータが正規分布かを判定できる？

A. 必要条件にはなりますが十分ではありません。 正規分布は $\gamma_1=0, \gamma_2=0$ ですが、 他にも条件を満たす分布があります。 QQプロット併用が必須。

Q. なぜ「分散」を使うのに「歪度」「尖度」も必要？

A. 分散は「ばらつき」を測りますが「対称性」や「裾の厚さ」は捕捉しません。 リスク管理・モデル選択では裾の挙動が決定的に重要。

Q. 標本サイズが小さい時の歪度の信頼性は？

A. 一般に n < 30 では推定が不安定。 ブートストラップ CI で評価するか、 中央値ベースの頑健な歪度（Bowley）を使う。

🗺️ 19. 歪度・尖度から分布を推測する

歪度・尖度の値から「どの分布族に近いか」を推測する目安：

🎯 20. モーメント法（パラメータ推定）

分布のパラメータを「標本モーメント＝理論モーメント」で推定する古典的手法。

例：正規分布

• $\hat{\mu}_{\text{MoM}} = \bar{x}$
• $\hat{\sigma}^2_{\text{MoM}} = s^2$

例：ガンマ分布

• 標本平均 $m_1$、 分散 $m_2$ から $\alpha = m_1^2/m_2,\ \beta = m_2/m_1$

MLE より計算簡便だが、 一般に効率が悪い（漸近分散が大きい）。

🔗 21. 関連分析手法

21.1 ロバスト統計

歪んだ・外れ値混在データに頑健な代替指標：

• MAD (Median Absolute Deviation)：中央値からの絶対偏差の中央値
• 四分位範囲 IQR：Q3 - Q1
• トリム平均：上下 α% を除いた平均
• ウィンザライズ平均：上下 α% を切り詰めた平均
• Huber M推定量：外れ値の影響を抑える反復推定

21.2 分布フィッティング

形状指標からどの分布が適切かを判定 → MLE で当てはめ：

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14

from scipy import stats
import pandas as pd
df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='utf-8', skiprows=1)
data = df['人口密度'].values

# 候補分布をフィット
distributions = ['norm', 'lognorm', 'gamma', 'expon']
for name in distributions:
    dist = getattr(stats, name)
    params = dist.fit(data)
    ll = dist.logpdf(data, *params).sum()
    k = len(params)
    aic = -2 * ll + 2 * k
    print(f'{name}: log-likelihood = {ll:.1f}, AIC = {aic:.1f}')

21.3 分布の比較（K-S 2標本検定）

1
2

stat, p = stats.ks_2samp(group_a, group_b)
print(f'KS = {stat:.3f}, p = {p:.4f}')

🎨 22. 分布形状の視覚化

• ヒストグラム：全体形状を把握する基本
• カーネル密度推定 (KDE)：滑らかな分布形
• 箱ひげ図：四分位 + 外れ値で歪みを視覚化
• バイオリンプロット：箱ひげ + KDE のハイブリッド
• QQ プロット：理論分布との一致度
• PP プロット：累積確率の比較

1
2
3
4
5
6
7

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))
sns.histplot(df['人口密度'], kde=True, ax=axes[0])
sns.boxplot(y=df['人口密度'], ax=axes[1])
sns.violinplot(y=df['人口密度'], ax=axes[2])
plt.tight_layout(); plt.show()

🔗 関連用語

• 代表値
• ばらつき
• 確率分布
• 正規分布
• ヒストグラム
• 四分位・IQR
• t検定 — 正規性を要求

🔖 キーワード索引（補強・追加分）

尺度と分布の形 関連の補強キーワード。 クリックで該当箇所へ：

🧮 SSDSE-B 実値計算例（47都道府県データ）

SSDSE-B の連続変数（所得・人口密度・持ち家比率）について、 尺度水準と分布形状（歪度・尖度・正規性）を体系的に分析する完全例。

① 計算コード

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

df = pd.read_csv('data/raw/SSDSE-B-2026.csv', encoding='utf-8', skiprows=1)

# 各変数の尺度・形状指標
fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(14, 8))
vars_to_check = ['一人当たり県民所得','人口密度','持ち家比率','世帯人員','高齢化率','就業率']
results = []
for i, var in enumerate(vars_to_check):
    x = df[var].dropna().values
    skew = stats.skew(x)
    kurt = stats.kurtosis(x)  # excess kurtosis
    shapiro_w, shapiro_p = stats.shapiro(x)
    results.append({
        '変数': var, '平均': x.mean(), 'SD': x.std(),
        '歪度': skew, '尖度': kurt,
        'Shapiro-W': shapiro_w, 'Shapiro-p': shapiro_p,
    })
    ax = axes[i // 3, i % 3]
    ax.hist(x, bins=15, edgecolor='black', alpha=0.7)
    ax.set_title(f'{var}\n歪度={skew:.2f}, 尖度={kurt:.2f}')

plt.tight_layout(); plt.savefig('shape_check.png', dpi=110)
print(pd.DataFrame(results).round(3))

② 期待出力

👉 値は SSDSE-B-2026 の典型値。 同じ手順で他都道府県・他変数にも適用可能。

⚠️ 落とし穴（拡張版・各 100 文字以上）

🐍 Python 実装バリエーション（scikit-learn / scipy / Optuna）

A. scikit-learn による実装

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

from sklearn.preprocessing import PowerTransformer, QuantileTransformer, StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt

# 右に裾の長い変数の変換比較
x = df['人口密度'].values.reshape(-1, 1)

fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(16, 4))
for i, (name, tr) in enumerate([
    ('元データ', None),
    ('Standard', StandardScaler()),
    ('Yeo-Johnson', PowerTransformer(method='yeo-johnson')),
    ('Quantile→Normal', QuantileTransformer(output_distribution='normal')),
]):
    if tr is None:
        z = x.ravel()
    else:
        z = tr.fit_transform(x).ravel()
    axes[i].hist(z, bins=15, edgecolor='black')
    axes[i].set_title(f'{name}\n歪度={stats.skew(z):.2f}')

plt.tight_layout(); plt.savefig('transform_compare.png', dpi=110)

B. scipy / statsmodels による実装

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

from scipy import stats
import numpy as np

# Box-Cox 変換（正値のみ）
x = df['一人当たり県民所得'].values  # 全部正値
x_bc, lambda_bc = stats.boxcox(x)
print(f'Best Box-Cox λ = {lambda_bc:.3f}')
print(f'変換前 歪度 = {stats.skew(x):+.3f}')
print(f'変換後 歪度 = {stats.skew(x_bc):+.3f}')

# Yeo-Johnson（負値も OK）
x_yj, lambda_yj = stats.yeojohnson(x)
print(f'Best Yeo-Johnson λ = {lambda_yj:.3f}')

# Anderson-Darling 検定（より厳しい正規性検定）
result = stats.anderson(x_bc, dist='norm')
print(f'AD stat = {result.statistic:.3f}')
for sig, crit in zip(result.significance_level, result.critical_values):
    print(f'  α={sig}%: critical={crit:.3f}, 棄却={"是" if result.statistic > crit else "否"}')

# Jarque-Bera（歪度・尖度ベース）
jb_stat, jb_p = stats.jarque_bera(x)
print(f'\nJarque-Bera = {jb_stat:.2f}, p = {jb_p:.4f}')

C. Optuna でハイパラ・選択最適化

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

import optuna
from scipy import stats

# 最適な変換を Optuna で探索（正規性最大化）
def objective(trial):
    method = trial.suggest_categorical('method', ['none', 'log', 'sqrt', 'boxcox', 'yeo-johnson'])
    x = df['人口密度'].values
    if method == 'none':
        z = x.copy()
    elif method == 'log':
        z = np.log(x + 1)
    elif method == 'sqrt':
        z = np.sqrt(x)
    elif method == 'boxcox':
        z, _ = stats.boxcox(x)
    else:
        z, _ = stats.yeojohnson(x)
    # 歪度の絶対値を最小化（より正規に近づける）
    return abs(stats.skew(z))

study = optuna.create_study(direction='minimize')
study.optimize(objective, n_trials=20)
print('Best transform:', study.best_params, '|skew|:', study.best_value)

D. ライブラリ早見表

🔗 関連用語（前提・並列・発展）